ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы положительны, основание положительно и не равно $1$:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-10x+25>0,\\ 4x-x^2+5>0,\\ 3-x>0,\\ 3-x\ne 1.\end{array}$$

Первое условие: $(x-5{)}^2>0$, то есть $x\ne 5$. Второе: $x^2-4x-5<0$; корни трёхчлена по теореме Виета $-1$ и $5$, поэтому $(x+1)(x-5)<0$ и $-1<x<5$. Третье: $x<3$. Четвёртое: $x\ne 2$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x\in (-1;2)\cup (2;3)$.

Разделим обе части неравенства на $2$ и запишем $1={\log }_{3-x}(3-x)$. Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{1}{2}{\log }_{3-x}(x-5{)}^2-{\log }_{3-x}\left(4x-x^2+5\right)+{\log }_{3-x}(3-x)⩽0.$$

Разберём первое слагаемое. Так как $(x-5{)}^2=|x-5{|}^2$ и $|x-5|>0$, по свойству логарифма степени $\frac{1}{2}{\log }_{3-x}(x-5{)}^2={\log }_{3-x}|x-5|$. Записать ${\log }_{3-x}(x-5)$ без модуля нельзя: на ОДЗ $x<3$, и $x-5<0$. По той же причине $|x-5|=5-x$.

Во втором слагаемом разложим трёхчлен на множители:

$$4x-x^2+5=-(x+1)(x-5)=(5-x)(x+1).$$

Сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием запишем как логарифм произведения и частного:

$${\log }_{3-x}\frac{(5-x)(3-x)}{(5-x)(x+1)}⩽0\iff {\log }_{3-x}\frac{3-x}{x+1}⩽0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ неравенство ${\log }_{a}b⩽0$, то есть ${\log }_{a}b⩽{\log }_{a}1$, равносильно $(a-1)(b-1)⩽0$. Действительно, при $a>1$ оно означает $b⩽1$, а при $0<a<1$ — $b⩾1$. Получаем

$$(3-x-1)\left(\frac{3-x}{x+1}-1\right)⩽0\iff (2-x)\cdot \frac{2-2x}{x+1}⩽0.$$

Так как $(2-x)(2-2x)=2(2-x)(1-x)=2(x-1)(x-2)$, неравенство принимает вид

$$\frac{(x-1)(x-2)}{x+1}⩽0.$$

Решим методом интервалов: нули числителя $1$ и $2$ закрашиваем, нуль знаменателя $-1$ выкалываем. Правее $2$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in (-\infty ;-1)\cup [1;2]$. Пересечём с ОДЗ $(-1;2)\cup (2;3)$: промежуток левее $-1$ отпадает, а точку $2$ нужно выколоть — при $x=2$ основание равно $1$.

Ответ: $[1;2)$.