ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а затем пересечём их решения.

Первое неравенство. Сделаем замену $t=4^x$, где $t>0$. Тогда $4^{-x}=\frac{1}{t}$, и неравенство принимает вид

$$19t+\frac{1}{t}⩽20\iff \frac{19t^2-20t+1}{t}⩽0.$$

Разложим числитель. Сумма коэффициентов $19-20+1=0$, поэтому $t=1$ — корень; по теореме Виета второй корень равен $\frac{1}{19}$ (произведение корней $\frac{1}{19}$). Значит, $19t^2-20t+1=(t-1)(19t-1)$:

$$\frac{(19t-1)(t-1)}{t}⩽0.$$

Решим методом интервалов: нули числителя $\frac{1}{19}$ и $1$ закрашиваем, нуль знаменателя $0$ выкалываем.

Получаем $t<0$ или $\frac{1}{19}⩽t⩽1$. Так как $t>0$, остаётся $\frac{1}{19}⩽t⩽1$. Сделаем обратную замену:

$$\frac{1}{19}⩽4^x⩽1\iff 4^{{\log }_4\frac{1}{19}}⩽4^x⩽4^0\iff -{\log }_{4}19⩽x⩽0.$$

Основание $4>1$, показательная функция возрастает, поэтому знаки неравенств для показателей сохраняются; кроме того, ${\log }_4\frac{1}{19}=-{\log }_{4}19$.

Второе неравенство. Найдём ОДЗ: основание положительно и не равно $1$, аргумент положителен:

$$\{\begin{array}{l}x+3>0,\\ x+3\ne 1,\\ 7-2x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-3,\\ x\ne -2,\\ x<3,5.\end{array}$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ ${\log }_{a}b$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(b-1)$. Здесь $a-1=x+2$, $b-1=6-2x=-2(x-3)$. Получаем равносильное на ОДЗ неравенство

$$x\cdot (x+2)\cdot (-2)(x-3)⩾0\iff x(x+2)(x-3)⩽0.$$

Решим его методом интервалов: нули $-2$, $0$, $3$, неравенство нестрогое. Правее $3$ произведение положительно, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in (-\infty ;-2]\cup [0;3]$. Пересечём с ОДЗ: левее $-3$ ничего не берём, точку $-2$ выкалываем (там основание равно $1$), а отрезок $[0;3]$ лежит в ОДЗ целиком, так как $3<3,5$.

Решение второго неравенства: $x\in (-3;-2)\cup [0;3]$.

Пересечение. Оценим число ${\log }_{4}19$. Так как $4^2=16<19<32=4^{\frac{5}{2}}$, то $2<{\log }_{4}19<2,5$, то есть $-2,5<-{\log }_{4}19<-2$. Значит, отрезок $[-{\log }_{4}19;0]$ пересекается с промежутком $(-3;-2)$ по полуинтервалу $[-{\log }_{4}19;-2)$, а с отрезком $[0;3]$ — только в точке $0$.

Проверка точки $x=0$: $19\cdot 1+1=20⩽20$ и $0\cdot {\log }_{3}7=0⩾0$ — оба неравенства верны.

Ответ: $[-{\log }_{4}19;-2)\cup \{0\}$.