ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}9-x^2>0,\\ {\log }_3\left(9-x^2\right)>0.\end{array}$$

Второе условие: ${\log }_3\left(9-x^2\right)>{\log }_{3}1$. Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому $9-x^2>1$. Это условие сильнее первого, и система сводится к $x^2<8$, то есть $-2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2}$.

Основание логарифма — число $\mathrm{tg}3,2$; оно должно быть положительным и не равным $1$. Оценим его. Так как $\pi \approx 3,14$ и $\frac{5\pi }{4}\approx 3,93$, то $\pi <3,2<\frac{5\pi }{4}$. На промежутке $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ тангенс возрастает, $\mathrm{tg}\pi =0$, $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=1$. Значит,

$$0<\mathrm{tg}3,2<1.$$

Основание допустимое, и оно меньше единицы. Запишем $0={\log }_{\mathrm{tg}3,2}1$:

$${\log }_{\mathrm{tg}3,2}\left({\log }_3\left(9-x^2\right)\right)⩾{\log }_{\mathrm{tg}3,2}1.$$

При основании из промежутка $(0;1)$ логарифм убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. С учётом ОДЗ получаем

$${\log }_3\left(9-x^2\right)⩽1.$$

Запишем $1={\log }_{3}3$. Основание $3>1$, знак сохраняется:

$$9-x^2⩽3\iff x^2⩾6\iff \left(x-\sqrt{6}\right)\left(x+\sqrt{6}\right)⩾0.$$

Пересечём с ОДЗ. Так как $6<8$, то $\sqrt{6}<\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, и точки идут в порядке $-2\sqrt{2}<-\sqrt{6}<\sqrt{6}<2\sqrt{2}$.

Ответ: $\left(-2\sqrt{2};-\sqrt{6}\right]\cup \left[\sqrt{6};2\sqrt{2}\right)$.