ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Заметим, что под первым логарифмом стоит полный куб. По формуле куба разности $a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=(a-b{)}^3$ при $a=x$, $b=1$:

$$x^3-3x^2+3x-1=(x-1{)}^3.$$

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^3>0,\\ x^2-1>0.\end{array}$$

Куб числа имеет тот же знак, что и само число, поэтому первое условие равносильно $x-1>0$, то есть $x>1$. Второе условие по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)>0$. При $x>1$ оба множителя положительны, так что оно выполняется автоматически. Итак, ОДЗ: $x>1$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся свойствами ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$; на ОДЗ $x-1>0$):

$${\log }_8(x-1{)}^3={\log }_{2^3}(x-1{)}^3=\frac{1}{3}\cdot 3{\log }_2(x-1)={\log }_2(x-1).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_2(x-1)⩾{\log }_2\left(x^2-1\right)-5.$$

Перенесём $5$ в левую часть и запишем его как логарифм: $5={\log }_{2}32$. Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму произведения:

$${\log }_2(x-1)+{\log }_{2}32⩾{\log }_2\left(x^2-1\right)\iff {\log }_2(32(x-1))⩾{\log }_2((x-1)(x+1)).$$

Основание $2>1$, логарифм возрастает, а оба аргумента на ОДЗ положительны. Поэтому неравенство равносильно неравенству для аргументов:

$$32(x-1)⩾(x-1)(x+1).$$

Перенесём всё в одну часть и вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-1)(x+1)-32(x-1)⩽0\iff (x-1)(x-31)⩽0.$$

Решим методом интервалов: нули $x=1$ и $x=31$, неравенство нестрогое.

Получаем $1⩽x⩽31$. По ОДЗ $x>1$, поэтому точку $1$ выкалываем. Тот же результат получается, если сразу разделить неравенство на положительное на ОДЗ число $x-1$: $x-31⩽0$.

Ответ: $(1;31]$.