Решите неравенство log₁₄(6x²+5)-log₁₄(x²+x+1)≥log₁₄(x/(x+2)+5) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя 2025 развёрнутое

Решите неравенство

$lo g_{14} (6 x^{2} + 5) - lo g_{14} (x^{2} + x + 1) ⩾ lo g_{14} (\frac{x}{x + 2} + 5) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть положительными:

$⎩ ⎨ ⎧ 6 x^{2} + 5 > 0, x^{2} + x + 1 > 0, \frac{x}{x + 2} + 5 > 0.$

Первое условие выполнено при всех $x$ . Второе тоже: у трёхчлена $x^{2} + x + 1$ дискриминант $1 - 4 = - 3 < 0$ , а старший коэффициент положителен. Третье приведём к общему знаменателю:

$\frac{x + 5 ( x + 2 )}{x + 2} > 0 \Leftrightarrow \frac{6 x + 10}{x + 2} > 0.$

Нули: $x = - \frac{5}{3}$ и $x = - 2$ , неравенство строгое, обе точки выколоты.

Метод интервалов

ОДЗ: $x \in (- \infty; - 2) \cup (- \frac{5}{3}; + \infty)$ .

На ОДЗ разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного, а аргумент правой части мы уже привели к виду $\frac{6 x + 10}{x + 2}$ :

$lo g_{14} \frac{6 x ^{2} + 5}{x ^{2} + x + 1} ⩾ lo g_{14} \frac{6 x + 10}{x + 2} .$

Основание $14 > 1$ , логарифм возрастает, а оба аргумента на ОДЗ положительны. Поэтому неравенство равносильно неравенству для аргументов:

$\frac{6 x ^{2} + 5}{x ^{2} + x + 1} ⩾ \frac{6 x + 10}{x + 2} .$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

$\frac{( 6 x ^{2} + 5 ) ( x + 2 ) - ( 6 x + 10 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 2 )} ⩾ 0.$

Раскроем скобки в числителе:

$(6 x^{2} + 5) (x + 2) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 5 x + 10,$

$(6 x + 10) (x^{2} + x + 1) = 6 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 10 x^{2} + 10 x + 10 = 6 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 10.$

Разность равна $- 4 x^{2} - 11 x = - x (4 x + 11)$ . Неравенство принимает вид

$\frac{- x ( 4 x + 11 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 2 )} ⩾ 0.$

Множитель $x^{2} + x + 1$ положителен при всех $x$ и на знак не влияет. Отбросим его и умножим обе части на $- 1$ , сменив знак неравенства:

$\frac{x ( 4 x + 11 )}{x + 2} ⩽ 0.$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x = - \frac{11}{4}$ и $x = 0$ закрашиваем, нуль знаменателя $x = - 2$ выкалываем. При $x > 0$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Метод интервалов

Получаем $x \in (- \infty; - \frac{11}{4}] \cup (- 2; 0]$ .

Пересечём с ОДЗ. Так как $- \frac{11}{4} = - 2, 75 < - 2$ , первый промежуток целиком лежит в части ОДЗ $(- \infty; - 2)$ . Точка $- \frac{5}{3}$ лежит между $- 2$ и $0$ , поэтому от промежутка $(- 2; 0]$ в ОДЗ попадает только $(- \frac{5}{3}; 0]$ .

Решение на числовой прямой

Ответ: $(- \infty; - \frac{11}{4}] \cup (- \frac{5}{3}; 0]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16