ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма $0,25\cdot 2^x$ положителен при всех $x$. Знаменатель не должен обращаться в ноль. Так как $0,25=2^{-2}$, получаем

$${\log }_7\left(0,25\cdot 2^x\right)\ne 0\iff 2^{x-2}\ne 1\iff 2^{x-2}\ne 2^0\iff x\ne 2.$$

Разложим числитель на множители. Заметим, что $25^x={\left(5^x\right)}^2$, и сделаем замену $t=5^x$: числитель равен $t^2-30t+125$. По теореме Виета корни этого трёхчлена $t=5$ и $t=25$ (их сумма $30$, произведение $125$). Поэтому

$$25^x-30\cdot 5^x+125=\left(5^x-5\right)\left(5^x-25\right).$$

Преобразуем знаменатель по свойству логарифма степени:

$${\log }_7\left(0,25\cdot 2^x\right)={\log }_7{2}^{x-2}=(x-2){\log }_{7}2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{\left(5^x-5\right)\left(5^x-25\right)}{(x-2){\log }_{7}2}⩾0.$$

Число ${\log }_{7}2$ положительно ($2>1$ и основание $7>1$), поэтому, умножив на него обе части, знак неравенства не меняем.

Применим метод рационализации. Функция $y=5^t$ возрастает, поэтому разность $5^x-5^a$ имеет тот же знак, что и $x-a$. Значит, $5^x-5=5^x-5^1$ имеет знак $x-1$, а $5^x-25=5^x-5^2$ — знак $x-2$. Получаем неравенство, равносильное исходному:

$$\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}⩾0.$$

Сокращать на $x-2$ не будем, а решим методом интервалов: точку $x=1$ закрашиваем, точку $x=2$ выкалываем. Множитель $x-2$ стоит и в числителе, и в знаменателе, то есть фактически в чётной степени, поэтому при переходе через $x=2$ знак не меняется. Правее $2$ дробь положительна.

Получаем $x⩾1$, $x\ne 2$.

Ответ: $[1;2)\cup (2;+\infty )$.