ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}2-x>0,\\ x+1>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1\ne 0.\end{array}$$

Первые три условия дают $-1<x<2$, $x\ne 0$ (при этом и $x^4>0$). Чтобы разобраться с последним условием, преобразуем знаменатель.

Так как $x^4={\left(x^2\right)}^2$ и $x^2>0$, по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$) имеем

$${\log }_2{x}^4={\log }_2{\left(x^2\right)}^2=2{\log }_2{x}^2.$$

Тогда по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ знаменатель сворачивается:

$${\log }_2^2{x}^2+2{\log }_2{x}^2+1={\left({\log }_2{x}^2+1\right)}^2.$$

Он обращается в ноль, когда ${\log }_2{x}^2=-1={\log }_2\frac{1}{2}$, то есть при $x^2=\frac{1}{2}$, $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Так как $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,71$, обе точки лежат в промежутке $(-1;2)$, и их нужно исключить. Итак, ОДЗ:

$$x\in \left(-1;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}};2\right).$$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть он положителен. Дробь с положительным знаменателем неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель:

$${\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)⩾0\iff {\log }_2(2-x)⩾{\log }_2(x+1).$$

Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ (оба аргумента положительны) неравенство равносильно такому же неравенству для аргументов:

$$2-x⩾x+1\iff 2x⩽1\iff x⩽\frac{1}{2}.$$

Пересечём с ОДЗ. Заметим, что $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}$, так как $\sqrt{2}<2$. Поэтому точка $\frac{1}{\sqrt{2}}$ в ответ не попадает, промежуток обрывается в точке $\frac{1}{2}$ (она закрашена), а точки $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $0$ остаются выколотыми.

Ответ: $\left(-1;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right]$.