ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x>0$ — это нужно, чтобы существовал ${\log }_{4}x$; тогда и $16x^4>0$. Кроме того, знаменатель не равен нулю: ${\log }_4^{2}x\ne 9$, это условие учтём при решении.

Упростим числитель. При $x>0$ по свойствам логарифма произведения и логарифма степени

$${\log }_4\left(16x^4\right)={\log }_{4}16+{\log }_4{x}^4=2+4{\log }_{4}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{4}x$. Запись ${\log }_4^{2}x$ означает квадрат логарифма: ${\left({\log }_{4}x\right)}^2=t^2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{2+4t+11}{t^2-9}⩾-1\iff \frac{4t+13}{t^2-9}⩾-1.$$

Перенесём $-1$ влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4t+13+t^2-9}{t^2-9}⩾0\iff \frac{t^2+4t+4}{t^2-9}⩾0.$$

Числитель — полный квадрат: $t^2+4t+4=(t+2{)}^2$. Знаменатель — разность квадратов: $t^2-9=(t-3)(t+3)$. Получаем

$$\frac{(t+2{)}^2}{(t-3)(t+3)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=-2$ закрашиваем; множитель $(t+2{)}^2$ в чётной степени, поэтому при переходе через $-2$ знак не меняется. Нули знаменателя $t=\pm 3$ выкалываем.

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t<-3,\\ t=-2,\\ t>3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем границы как логарифмы по основанию $4$: $-3={\log }_4\frac{1}{64}$, $-2={\log }_4\frac{1}{16}$, $3={\log }_{4}64$. Основание $4>1$, логарифм возрастает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{4}x<{\log }_4\frac{1}{64},\\ {\log }_{4}x={\log }_4\frac{1}{16},\\ {\log }_{4}x>{\log }_{4}64\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{64},\\ x=\frac{1}{16},\\ x>64.\end{array}$$

В первой строке условие $x>0$ взято из ОДЗ: аргумент логарифма обязан быть положительным.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{64}\right)\cup \left\{\frac{1}{16}\right\}\cup (64;+\infty )$.