ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен, а ${\log }_{36}x$ стоит в знаменателе дроби и не может быть равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{36}x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0,\\ x\ne 1.\end{array}$$

Итак, ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$.

Сделаем замену $t={\log }_{36}x$, где $t\ne 0$:

$$(t+1)\left(\frac{1}{t}+1\right)⩽t.$$

Приведём вторую скобку к общему знаменателю: $\frac{1}{t}+1=\frac{1+t}{t}$. Тогда левая часть равна $\frac{(t+1{)}^2}{t}$. Перенесём $t$ влево и приведём к знаменателю $t$:

$$\frac{(t+1{)}^2-t^2}{t}⩽0.$$

Раскроем квадрат суммы: $(t+1{)}^2-t^2=t^2+2t+1-t^2=2t+1$. Получаем

$$\frac{2t+1}{t}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=-\frac{1}{2}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $t=0$ выкалываем. Правее нуля дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Значит, $-\frac{1}{2}⩽t<0$. Сделаем обратную замену:

$$-\frac{1}{2}⩽{\log }_{36}x<0.$$

Запишем границы как логарифмы по основанию $36$. Так как $36^{\frac{1}{2}}=6$, то $-\frac{1}{2}={\log }_{36}36^{-\frac{1}{2}}={\log }_{36}\frac{1}{6}$; кроме того, $0={\log }_{36}1$:

$${\log }_{36}\frac{1}{6}⩽{\log }_{36}x<{\log }_{36}1.$$

Основание $36>1$, логарифм возрастает, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенств сохраняются:

$$\frac{1}{6}⩽x<1.$$

Весь этот промежуток лежит в ОДЗ: здесь $x>0$ и $x\ne 1$.

Ответ: $\left[\frac{1}{6};1\right)$.