ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Выразим все степени через $8^x$: $8^{x+1}=8\cdot 8^x$, $64^x={\left(8^2\right)}^x={\left(8^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=8^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$\frac{8t-40}{2t^2-32}⩽1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{8t-40-\left(2t^2-32\right)}{2t^2-32}⩽0\iff \frac{-2t^2+8t-8}{2t^2-32}⩽0.$$

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем $-2$ и свернём квадрат разности: $-2t^2+8t-8=-2\left(t^2-4t+4\right)=-2(t-2{)}^2$. В знаменателе вынесем $2$ и применим разность квадратов: $2t^2-32=2\left(t^2-16\right)=2(t-4)(t+4)$:

$$\frac{-2(t-2{)}^2}{2(t-4)(t+4)}⩽0.$$

Сократим дробь на $2$ и умножим обе части на $-1$, сменив знак неравенства:

$$\frac{(t-2{)}^2}{(t-4)(t+4)}⩾0.$$

Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя $t=2$ закрашиваем, нули знаменателя $t=\pm 4$ выкалываем — на ноль делить нельзя. Множитель $(t-2{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=2$ знак дроби не меняется.

Получаем $t<-4$, $t=2$ или $t>4$. Учтём условие $t>0$: промежуток $t<-4$ отпадает.

Вернёмся к переменной $x$. Запишем $8^x=2^{3x}$, $2=2^1$, $4=2^2$:

$$[\begin{array}{l}{8}^x=2,\\ 8^x>4\end{array}\iff [\begin{array}{l}{2}^{3x}=2^1,\\ 2^{3x}>2^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}3x=1,\\ 3x>2.\end{array}$$

Во втором неравенстве основание $2>1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется. Получаем $x=\frac{1}{3}$ или $x>\frac{2}{3}$.

Ответ: $\left\{\frac{1}{3}\right\}\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.