ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

ОДЗ: аргумент логарифмов положителен, $x>0$.

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые, содержащие ${\log }_{3}x$, и слагаемые, содержащие ${\log }_{2}x$:

$${\log }_{3}x\cdot \left(2^x-2\cdot 3^{x-1}\right)+{\log }_{2}x\cdot \left(3^x-3\cdot 2^{x-1}\right)⩽0.$$

Так как $2^x=2\cdot 2^{x-1}$ и $3^x=3\cdot 3^{x-1}$, в первой скобке вынесем $2$, а во второй $3$:

$$2^x-2\cdot 3^{x-1}=2\left(2^{x-1}-3^{x-1}\right),3^x-3\cdot 2^{x-1}=3\left(3^{x-1}-2^{x-1}\right)=-3\left(2^{x-1}-3^{x-1}\right).$$

Подставим эти выражения:

$$2{\log }_{3}x\cdot \left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)-3{\log }_{2}x\cdot \left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)⩽0.$$

Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель $2^{x-1}-3^{x-1}$. Вынесем его за скобки:

$$\left(2{\log }_{3}x-3{\log }_{2}x\right)\left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)⩽0.$$

Приведём логарифмы в первой скобке к одному основанию. По формуле перехода ${\log }_{2}x=\frac{{\log }_{3}x}{{\log }_{3}2}={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}x$. Поэтому

$$2{\log }_{3}x-3{\log }_{2}x=2{\log }_{3}x-3{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}x=\left(2-3{\log }_{2}3\right){\log }_{3}x.$$

Оценим число $2-3{\log }_{2}3$. Так как $3>2$ и логарифм по основанию $2$ возрастает, ${\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$. Значит, $3{\log }_{2}3>3>2$, то есть $2-3{\log }_{2}3<0$. Разделим неравенство на это отрицательное число, сменив знак неравенства на противоположный:

$${\log }_{3}x\cdot \left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)⩾0.$$

Определим знак каждого множителя методом рационализации.

Первый множитель: ${\log }_{3}x={\log }_{3}x-{\log }_{3}1$. Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому знак ${\log }_{3}x$ совпадает со знаком $x-1$.

Второй множитель: запишем $3=2^{{\log }_{2}3}$, тогда $3^{x-1}=2^{(x-1){\log }_{2}3}$. Функция $y=2^t$ возрастает, поэтому разность $2^{x-1}-2^{(x-1){\log }_{2}3}$ имеет тот же знак, что и разность показателей:

$$(x-1)-(x-1){\log }_{2}3=(x-1)\left(1-{\log }_{2}3\right).$$

Заменив множители на выражения того же знака, получим неравенство, равносильное исходному на ОДЗ:

$$(x-1)\cdot (x-1)\left(1-{\log }_{2}3\right)⩾0.$$

Мы уже знаем, что ${\log }_{2}3>1$, то есть $1-{\log }_{2}3<0$. Разделим на этот множитель и снова сменим знак неравенства:

$$(x-1{)}^2⩽0.$$

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство выполняется только тогда, когда $(x-1{)}^2=0$, то есть при $x=1$. На числовой прямой: выражение $(x-1{)}^2$ положительно всюду, кроме точки $1$.

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ $x>0$. Проверка: при $x=1$ оба логарифма равны нулю, поэтому обе части неравенства равны $0$, и $0⩽0$ — верно.

Ответ: $\{1\}$.