ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражения под знаком логарифма должны быть положительными, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

$$\{\begin{array}{l}5x-27>0,\\ x-5>0,\\ {\log }_5(x-5)\ne 0.\end{array}$$

Из первого условия $x>5,4$, из второго $x>5$; вместе они дают $x>5,4$. Третье условие: ${\log }_5(x-5)\ne {\log }_{5}1$, то есть $x-5\ne 1$ и $x\ne 6$. Итак, ОДЗ: $x>5,4$, $x\ne 6$.

На ОДЗ число $x-5$ положительно и не равно $1$, поэтому его можно взять основанием логарифма. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, прочитав её справа налево:

$$\frac{{\log }_5(5x-27)}{{\log }_5(x-5)}={\log }_{x-5}(5x-27).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{x-5}(5x-27)⩾1.$$

Представим единицу как логарифм по тому же основанию: $1={\log }_{x-5}(x-5)$. Перенесём всё в левую часть:

$${\log }_{x-5}(5x-27)-{\log }_{x-5}(x-5)⩾0.$$

Применим метод рационализации. На ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и выражение $\frac{f-g}{a-1}$. Действительно, при $a>1$ логарифм возрастает и знак разности совпадает со знаком $f-g$, а при $0<a<1$ логарифм убывает и знак меняется на противоположный — это и учитывает знаменатель $a-1$. Получаем систему, равносильную исходному неравенству:

$$\{\begin{array}{l}\frac{(5x-27)-(x-5)}{(x-5)-1}⩾0,\\ x>5,4,x\ne 6.\end{array}$$

Упростим числитель и знаменатель: $(5x-27)-(x-5)=4x-22=4(x-5,5)$, $(x-5)-1=x-6$. Положительный множитель $4$ на знак дроби не влияет:

$$\frac{x-5,5}{x-6}⩾0.$$

Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя $x=5,5$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, а нуль знаменателя $x=6$ выкалываем. Правее $6$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in (-\infty ;5,5]\cup (6;+\infty )$. Осталось учесть ОДЗ: $x>5,4$ (точка $6$ уже выколота). От первого промежутка остаётся $(5,4;5,5]$.

Ответ: $(5,4;5,5]\cup (6;+\infty )$.