ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x>0$ (аргументы логарифмов положительны), знаменатели не равны нулю — это условие учтём после замены.

При $x>0$ по свойствам логарифма произведения и степени:

$${\log }_3(81x)={\log }_{3}81+{\log }_{3}x=4+{\log }_{3}x,{\log }_3{x}^8=8{\log }_{3}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Неравенство примет вид

$$\frac{t+4}{t-4}+\frac{t-4}{t+4}⩾\frac{24-8t}{t^2-16},t\ne \pm 4.$$

По формуле разности квадратов $t^2-16=(t-4)(t+4)$ — это общий знаменатель всех дробей. Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{(t+4{)}^2+(t-4{)}^2-(24-8t)}{(t-4)(t+4)}⩾0.$$

Упростим числитель:

$$t^2+8t+16+t^2-8t+16-24+8t=2t^2+8t+8=2\left(t^2+4t+4\right)=2(t+2{)}^2.$$

Получаем

$$\frac{2(t+2{)}^2}{(t-4)(t+4)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=-2$ закрашиваем, нули знаменателя $\pm 4$ выкалываем. При $t>4$ дробь положительна. При переходе через $4$ и $-4$ знак меняется, а через $-2$ — нет, так как множитель $t+2$ стоит в квадрате. В самой точке $t=-2$ дробь равна нулю, поэтому эта точка входит в решение:

$$[\begin{array}{l}t<-4,\\ t=-2,\\ t>4.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $-4={\log }_3\frac{1}{81}$, $-2={\log }_3\frac{1}{9}$, $4={\log }_{3}81$. Функция $y={\log }_{3}x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому с учётом $x>0$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_3\frac{1}{81},\\ {\log }_{3}x={\log }_3\frac{1}{9},\\ {\log }_{3}x>{\log }_{3}81\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{81},\\ x=\frac{1}{9},\\ x>81.\end{array}$$

Ответ: $\left(0;\frac{1}{81}\right)\cup \left\{\frac{1}{9}\right\}\cup (81;+\infty )$.