ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим трёхчлен на множители. По теореме, обратной теореме Виета (сумма корней $2$, произведение $-8$), его корни $4$ и $-2$, поэтому $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, и аргумент первого логарифма равен

$$(x-4)\left(x^2-2x-8\right)=(x-4{)}^2(x+2).$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}(x-4{)}^2(x+2)>0,\\ (x-4{)}^2>0.\end{array}$$

Второе условие означает $x\ne 4$. При $x\ne 4$ множитель $(x-4{)}^2>0$, поэтому первое условие сводится к $x+2>0$. Методом интервалов для первого неравенства: при переходе через $4$ знак не меняется (квадрат), через $-2$ — меняется:

ОДЗ: $x\in (-2;4)\cup (4;+\infty )$.

Приведём первый логарифм к основанию $5$. По свойству ${\log }_{a^2}b=\frac{1}{2}{\log }_{a}b$ имеем ${\log }_{25}A=0,5{\log }_{5}A$. На ОДЗ оба множителя $(x-4{)}^2$ и $x+2$ положительны, поэтому по свойству логарифма произведения

$${\log }_{25}\left((x-4{)}^2(x+2)\right)=0,5{\log }_5(x-4{)}^2+0,5{\log }_5(x+2).$$

Неравенство принимает вид

$$0,5{\log }_5(x-4{)}^2+0,5{\log }_5(x+2)+1⩾0,5{\log }_5(x-4{)}^2.$$

Слагаемое $0,5{\log }_5(x-4{)}^2$ есть в обеих частях, вычтем его:

$$0,5{\log }_5(x+2)+1⩾0\iff {\log }_5(x+2)⩾-2.$$

Запишем $-2={\log }_5{5}^{-2}={\log }_5\frac{1}{25}$. Функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, так как $5>1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$x+2⩾\frac{1}{25}\iff x⩾-2+0,04\iff x⩾-1,96.$$

Пересечём с ОДЗ. Так как $-1,96>-2$, условие $x>-2$ выполнено, и остаётся только исключить точку $x=4$:

Ответ: $[-1,96;4)\cup (4;+\infty )$.