ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$64-x^2>0\iff (x-8)(x+8)<0.$$

ОДЗ: $x\in (-8;8)$.

Сделаем замену $y={\log }_4\left(64-x^2\right)$:

$$y^2-5y+6⩾0.$$

Корни трёхчлена по теореме, обратной теореме Виета (сумма $5$, произведение $6$), — $2$ и $3$, поэтому неравенство запишется как $(y-2)(y-3)⩾0$. Решим методом интервалов, нули закрашиваем:

Получаем $y⩽2$ или $y⩾3$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{\log }_4\left(64-x^2\right)⩽2,\\ {\log }_4\left(64-x^2\right)⩾3.\end{array}$$

Запишем числа как логарифмы по основанию $4$: $2={\log }_{4}16$, $3={\log }_{4}64$. Функция $y={\log }_{4}t$ возрастает, так как $4>1$, поэтому на ОДЗ знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}64-x^2⩽16,\\ 64-x^2⩾64\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2⩾48,\\ x^2⩽0.\end{array}$$

Неравенство $x^2⩽0$ выполняется только при $x=0$, так как квадрат не бывает отрицательным.

Неравенство $x^2⩾48$ запишем как $\left(x-4\sqrt{3}\right)\left(x+4\sqrt{3}\right)⩾0$ (здесь $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$):

Получаем $x⩽-4\sqrt{3}$ или $x⩾4\sqrt{3}$.

Объединим решения и пересечём с ОДЗ $(-8;8)$. Так как $4\sqrt{3}=\sqrt{48}<\sqrt{64}=8$, от лучей остаются промежутки $\left(-8;-4\sqrt{3}\right]$ и $\left[4\sqrt{3};8\right)$, а точка $x=0$ лежит внутри ОДЗ:

Ответ: $\left(-8;-4\sqrt{3}\right]\cup \{0\}\cup \left[4\sqrt{3};8\right)$.