ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма $2^x>0$ при любом $x$. Знаменатель не должен обращаться в ноль: ${\log }_5\left(2^x\right)\ne 0$, то есть $2^x\ne 1$, откуда $x\ne 0$.

Преобразуем знаменатель по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$:

$${\log }_5\left(2^x\right)=x{\log }_{5}2.$$

Так как $2>1$ и основание $5>1$, имеем ${\log }_{5}2>{\log }_{5}1=0$. Умножим обе части неравенства на положительное число ${\log }_{5}2$ — знак сохранится:

$$\frac{9^x-4\cdot 3^x+3}{x}⩽0.$$

Разложим числитель. Пусть $t=3^x$, тогда $9^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$, и числитель равен $t^2-4t+3$. По теореме, обратной теореме Виета (сумма корней $4$, произведение $3$), его корни $1$ и $3$, поэтому

$$9^x-4\cdot 3^x+3=\left(3^x-1\right)\left(3^x-3\right)=\left(3^x-3^0\right)\left(3^x-3^1\right).$$

Применим метод рационализации. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому разность $3^x-3^a$ имеет тот же знак, что и разность $x-a$. Значит, множитель $3^x-1$ имеет знак $x$, а множитель $3^x-3$ — знак $x-1$. Заменив множители на выражения того же знака, получим равносильное неравенство:

$$\frac{x(x-1)}{x}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $1$ закрашиваем. Точка $0$ — нуль и числителя, и знаменателя, при $x=0$ дробь не определена, поэтому её выкалываем. При $x>1$ дробь положительна. При переходе через $1$ знак меняется, а через $0$ — нет, так как множитель $x$ входит в дробь дважды:

Получаем $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1]$, это множество уже учитывает ОДЗ.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup (0;1]$.