ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5>0,\\ \sqrt{5}-x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)>0,\\ x<\sqrt{5}.\end{array}$$

Первое неравенство решим методом интервалов:

Получаем $x<-\sqrt{5}$ или $x>\sqrt{5}$. Вместе с условием $x<\sqrt{5}$ остаётся только левый луч:

ОДЗ: $x<-\sqrt{5}$.

Разложим на множители первую скобку. Дискриминант $D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1$, корни

$$x=\frac{-9\pm 1}{4},x_1=-2,x_2=-\frac{5}{2}.$$

Поэтому $2x^2+9x+10=2(x+2)\left(x+\frac{5}{2}\right)=(2x+5)(x+2)$.

Приведём логарифмы во второй скобке к основанию $2$. Так как $0,5=2^{-1}$ и $8=2^3$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{0,5}\left(x^2-5\right)=-{\log }_2\left(x^2-5\right),{\log }_8\left(\sqrt{5}-x\right)=\frac{1}{3}{\log }_2\left(\sqrt{5}-x\right).$$

Тогда вторая скобка равна

$$-\frac{1}{3}{\log }_2\left(x^2-5\right)+\frac{1}{3}{\log }_2\left(\sqrt{5}-x\right)=\frac{1}{3}\left({\log }_2\left(\sqrt{5}-x\right)-{\log }_2\left(x^2-5\right)\right).$$

Умножим неравенство на $3>0$:

$$(2x+5)(x+2)\left({\log }_2\left(\sqrt{5}-x\right)-{\log }_2\left(x^2-5\right)\right)⩾0.$$

Применим метод рационализации. Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, так как $2>1$, поэтому при $a>0$, $b>0$ разность ${\log }_{2}a-{\log }_{2}b$ имеет тот же знак, что и разность $a-b$. На ОДЗ заменим разность логарифмов на разность аргументов — получим равносильное неравенство:

$$(2x+5)(x+2)\left(\left(\sqrt{5}-x\right)-\left(x^2-5\right)\right)⩾0.$$

Разложим последнюю скобку. Так как $x^2-5=\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)=-\left(\sqrt{5}-x\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$, то

$$\left(\sqrt{5}-x\right)-\left(x^2-5\right)=\left(\sqrt{5}-x\right)+\left(\sqrt{5}-x\right)\left(x+\sqrt{5}\right)=\left(\sqrt{5}-x\right)\left(x+1+\sqrt{5}\right).$$

Неравенство принимает вид

$$(2x+5)(x+2)\left(\sqrt{5}-x\right)\left(x+1+\sqrt{5}\right)⩾0.$$

На ОДЗ $x<-\sqrt{5}<\sqrt{5}$, поэтому множитель $\sqrt{5}-x>0$. Разделим на него, знак неравенства сохранится:

$$(2x+5)(x+2)\left(x+1+\sqrt{5}\right)⩾0.$$

Нули множителей: $-2$, $-\frac{5}{2}$ и $-1-\sqrt{5}$. Выясним, как они расположены. Сравним $1+\sqrt{5}$ и $\frac{5}{2}$, то есть $\sqrt{5}$ и $\frac{3}{2}$. Оба числа положительны, сравним их квадраты: $5>\frac{9}{4}$. Значит, $1+\sqrt{5}>\frac{5}{2}$, то есть $-1-\sqrt{5}<-\frac{5}{2}$.

Решим методом интервалов, все нули закрашиваем (неравенство нестрогое). При $x>-2$ все множители положительны; при переходе через каждую точку знак меняется:

Получаем $x\in \left[-1-\sqrt{5};-\frac{5}{2}\right]\cup [-2;+\infty )$.

Пересечём с ОДЗ $x<-\sqrt{5}$. Сравним $\sqrt{5}$ с $\frac{5}{2}$ и с $2$ через квадраты: $4<5<\frac{25}{4}$, поэтому $2<\sqrt{5}<\frac{5}{2}$, то есть $-\frac{5}{2}<-\sqrt{5}<-2$. Значит, луч $[-2;+\infty )$ в ОДЗ не входит, а отрезок $\left[-1-\sqrt{5};-\frac{5}{2}\right]$ лежит в ней целиком:

Ответ: $\left[-1-\sqrt{5};-2,5\right]$.