ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$4-x^2>0\iff x^2-4<0\iff (x-2)(x+2)<0.$$

ОДЗ: $x\in (-2;2)$.

На ОДЗ применим основное логарифмическое тождество $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$):

$$3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}=4-x^2.$$

Неравенство принимает вид

$$4-x^2+x^4-10⩾0\iff x^4-x^2-6⩾0.$$

Сделаем замену $y=x^2$, $y⩾0$:

$$y^2-y-6⩾0.$$

Корни трёхчлена по теореме, обратной теореме Виета (сумма $1$, произведение $-6$), — $3$ и $-2$, поэтому неравенство запишется как $(y-3)(y+2)⩾0$. Решим методом интервалов, нули закрашиваем:

Получаем $y⩽-2$ или $y⩾3$. Но $y=x^2⩾0$, поэтому случай $y⩽-2$ невозможен. Остаётся

$$x^2⩾3\iff \left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)⩾0.$$

Получаем $x⩽-\sqrt{3}$ или $x⩾\sqrt{3}$.

Пересечём с ОДЗ $(-2;2)$. Так как $3<4$, имеем $\sqrt{3}<2$ и $-2<-\sqrt{3}$. Остаётся $-2<x⩽-\sqrt{3}$ или $\sqrt{3}⩽x<2$.

Ответ: $\left(-2;-\sqrt{3}\right]\cup \left[\sqrt{3};2\right)$.