ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}25-25x>0,\\ x^2-4x+3>0,\\ x+7>0.\end{array}$$

Первое неравенство: разделим на $25>0$, получим $1-x>0$, то есть $x<1$.

Во втором разложим трёхчлен на множители. По теореме, обратной теореме Виета (сумма корней $4$, произведение $3$), его корни $1$ и $3$, поэтому неравенство принимает вид $(x-1)(x-3)>0$. Обе точки выкалываем:

Получаем $x<1$ или $x>3$.

Третье неравенство: $x>-7$.

Пересечём все три условия:

ОДЗ: $x\in (-7;1)$.

По свойству суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$ (при $b>0$, $c>0$) правая часть равна ${\log }_{\frac{1}{5}}\left((x-1)(x-3)(x+7)\right)$:

$${\log }_{\frac{1}{5}}(25-25x)<{\log }_{\frac{1}{5}}\left((x-1)(x-3)(x+7)\right).$$

Функция $y={\log }_{\frac{1}{5}}t$ убывает, так как $0<\frac{1}{5}<1$. Поэтому на ОДЗ при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$25-25x>(x-1)(x-3)(x+7).$$

Перенесём всё в левую часть и запишем $25-25x=-25(x-1)$:

$$-25(x-1)-(x-1)(x-3)(x+7)>0.$$

Вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-1)\left(-25-(x-3)(x+7)\right)>0.$$

Упростим вторую скобку, раскрыв $(x-3)(x+7)=x^2+4x-21$:

$$-25-x^2-4x+21=-x^2-4x-4=-\left(x^2+4x+4\right)=-(x+2{)}^2.$$

Здесь применили формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$. Получаем $-(x-1)(x+2{)}^2>0$. Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$$(x-1)(x+2{)}^2<0.$$

Решим методом интервалов, обе точки выкалываем. При $x>1$ выражение положительно. При переходе через $1$ знак меняется, а через $-2$ — нет, так как множитель $x+2$ стоит в квадрате:

Получаем $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;1)$. Пересечём с ОДЗ $(-7;1)$: так как $-7<-2<1$, остаётся $(-7;-2)\cup (-2;1)$.

Ответ: $(-7;-2)\cup (-2;1)$.