ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Выразим все степени через $2^x$: $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2$, $2^{x+3}=2^3\cdot 2^x=8\cdot 2^x$. Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Неравенство примет вид

$$\frac{t^2-8t+7}{t^2-5t+4}⩽\frac{t-9}{t-4}+\frac{1}{t-6}.$$

Разложим трёхчлены на множители по теореме, обратной теореме Виета. У $t^2-8t+7$ сумма корней $8$, произведение $7$ — корни $1$ и $7$. У $t^2-5t+4$ сумма корней $5$, произведение $4$ — корни $1$ и $4$. Значит,

$$\frac{(t-1)(t-7)}{(t-1)(t-4)}⩽\frac{t-9}{t-4}+\frac{1}{t-6}.$$

Знаменатели не равны нулю: $t\ne 1$, $t\ne 4$, $t\ne 6$. Сократим левую дробь на $t-1$, запомнив условие $t\ne 1$:

$$\frac{t-7}{t-4}⩽\frac{t-9}{t-4}+\frac{1}{t-6}.$$

Перенесём всё в левую часть. Дроби с одинаковым знаменателем $t-4$ вычтем сразу: $(t-7)-(t-9)=2$. Получим

$$\frac{2}{t-4}-\frac{1}{t-6}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-4)(t-6)$:

$$\frac{2(t-6)-(t-4)}{(t-4)(t-6)}⩽0\iff \frac{2t-12-t+4}{(t-4)(t-6)}⩽0\iff \frac{t-8}{(t-4)(t-6)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=8$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $4$ и $6$ выкалываем. При $t>8$ все множители положительны, дробь положительна; при переходе через каждую точку знак меняется:

Получаем $t<4$ или $6<t⩽8$. Учтём условия $t>0$ и $t\ne 1$:

$$[\begin{array}{l}0<t<1,\\ 1<t<4,\\ 6<t⩽8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $1=2^0$, $4=2^2$, $6=2^{{\log }_{2}6}$, $8=2^3$. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются, а условие $2^x>0$ верно при всех $x$:

$$[\begin{array}{l}0<2^x<2^0,\\ 2^0<2^x<2^2,\\ 2^{{\log }_{2}6}<2^x⩽2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0,\\ 0<x<2,\\ {\log }_{2}6<x⩽3.\end{array}$$

Так как $4<6<8$, число ${\log }_{2}6$ лежит между $2$ и $3$, и промежутки идут на прямой в таком порядке:

Ответ: $(-\infty ;0)\cup (0;2)\cup \left({\log }_{2}6;3\right]$.