ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x>0$ (аргументы логарифмов $x$ и $32x^{10}$ положительны), знаменатели не равны нулю — это условие учтём после замены.

Упростим второй знаменатель. По свойствам логарифма произведения и степени при $x>0$:

$${\log }_2\left(32x^{10}\right)={\log }_{2}32+{\log }_2{x}^{10}=5+10{\log }_{2}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$. Тогда второй знаменатель равен

$$t^2-(5+10t)+30=t^2-10t+25=(t-5{)}^2,$$

и неравенство принимает вид

$$1+\frac{10}{t-5}+\frac{16}{(t-5{)}^2}⩾0,t\ne 5.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-5{)}^2$:

$$\frac{(t-5{)}^2+10(t-5)+16}{(t-5{)}^2}⩾0.$$

Упростим числитель:

$$t^2-10t+25+10t-50+16=t^2-9=(t-3)(t+3).$$

Получаем

$$\frac{(t-3)(t+3)}{(t-5{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $\pm 3$ закрашиваем, нуль знаменателя $5$ выкалываем. При $t>5$ дробь положительна. При переходе через $5$ знак не меняется (множитель $t-5$ в квадрате), через $3$ и $-3$ — меняется:

Получаем

$$[\begin{array}{l}t⩽-3,\\ 3⩽t<5,\\ t>5.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $-3={\log }_2\frac{1}{8}$, $3={\log }_{2}8$, $5={\log }_{2}32$. Функция $y={\log }_{2}x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому с учётом $x>0$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{2}x⩽{\log }_2\frac{1}{8},\\ {\log }_{2}8⩽{\log }_{2}x<{\log }_{2}32,\\ {\log }_{2}x>{\log }_{2}32\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x⩽\frac{1}{8},\\ 8⩽x<32,\\ x>32.\end{array}$$

Ответ: $\left(0;\frac{1}{8}\right]\cup [8;32)\cup (32;+\infty )$.