ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1>0,\\ \frac{1}{x}+1>0,\\ 8x-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1-x}{x}>0,\\ \frac{1+x}{x}>0,\\ x>\frac{1}{8}.\end{array}$$

Решим первое неравенство методом интервалов. Нуль числителя $1$, нуль знаменателя $0$, обе точки выкалываем. При $x>1$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна:

Получаем $0<x<1$.

Второе неравенство: нуль числителя $-1$, нуль знаменателя $0$. При $x>0$ дробь положительна:

Получаем $x<-1$ или $x>0$.

Пересечём с третьим условием $x>\frac{1}{8}$:

ОДЗ: $x\in \left(\frac{1}{8};1\right)$.

По свойству суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$ и формуле разности квадратов

$${\log }_3\left(\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x}+1\right)\right)={\log }_3\left(\frac{1}{x^2}-1\right).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_3\left(\frac{1}{x^2}-1\right)⩽{\log }_3(8x-1).$$

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как $3>1$, поэтому на ОДЗ знак при переходе к аргументам сохраняется:

$$\frac{1}{x^2}-1⩽8x-1\iff \frac{1}{x^2}-8x⩽0\iff \frac{1-8x^3}{x^2}⩽0.$$

Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$:

$$1-8x^3=1^3-(2x{)}^3=(1-2x)\left(1+2x+4x^2\right).$$

У трёхчлена $4x^2+2x+1$ дискриминант $D=2^2-4\cdot 4\cdot 1=-12<0$, старший коэффициент $4>0$, поэтому он положителен при всех $x$. Знаменатель $x^2>0$ на ОДЗ. Разделим неравенство на эти положительные выражения:

$$1-2x⩽0\iff x⩾\frac{1}{2}.$$

Пересечём с ОДЗ: $\frac{1}{8}<\frac{1}{2}<1$, поэтому $\frac{1}{2}⩽x<1$.

Ответ: $\left[\frac{1}{2};1\right)$.