ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>0,\\ 2x^2-5x+12,5>0,\\ {\log }_6^2\left(2x^2-5x+12,5\right)+1\ne 0.\end{array}$$

Первое условие означает $x\ne 0$.

Второе верно при всех $x$: дискриминант $D=5^2-4\cdot 2\cdot 12,5=25-100=-75<0$, старший коэффициент $2>0$, поэтому трёхчлен всегда положителен.

Третье тоже верно при всех $x$: квадрат логарифма неотрицателен, поэтому ${\log }_6^2\left(2x^2-5x+12,5\right)+1⩾1>0$.

ОДЗ: $x\ne 0$.

Знаменатель дроби положителен на всей ОДЗ. Умножим на него обе части — знак неравенства сохранится:

$${\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2⩽0.$$

Приведём логарифмы к одному основанию. По формуле ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c$ имеем ${\log }_3{x}^2={\log }_{3}2\cdot {\log }_2{x}^2$. Тогда

$${\log }_2{x}^2-{\log }_{3}2\cdot {\log }_2{x}^2⩽0\iff \left(1-{\log }_{3}2\right){\log }_2{x}^2⩽0.$$

Так как $2<3$ и функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, ${\log }_{3}2<{\log }_{3}3=1$, то есть $1-{\log }_{3}2>0$. Разделим на это положительное число:

$${\log }_2{x}^2⩽0\iff {\log }_2{x}^2⩽{\log }_{2}1.$$

Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, так как $2>1$, поэтому на ОДЗ (где $x^2>0$) знак сохраняется:

$$x^2⩽1\iff (x-1)(x+1)⩽0.$$

Решим методом интервалов, нули $\pm 1$ закрашиваем:

Получаем $-1⩽x⩽1$. В точках $x=\pm 1$ числитель исходной дроби равен нулю, они входят в ответ. С учётом ОДЗ исключаем $x=0$:

Ответ: $[-1;0)\cup (0;1]$.