ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Запишем ограничения: аргументы логарифмов должны быть положительны.

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+2>0,\\ x+4>0,\\ \frac{x+5}{x^2}>0.\end{array}$$

Первое неравенство приведём к общему знаменателю: $\frac{2x+1}{x}>0$. Нуль числителя $-\frac{1}{2}$, нуль знаменателя $0$, обе точки выкалываем; при $x>0$ дробь положительна:

Получаем $x<-\frac{1}{2}$ или $x>0$.

Второе неравенство: $x>-4$.

В третьем знаменатель $x^2>0$ при $x\ne 0$, поэтому неравенство равносильно системе $x+5>0$, $x\ne 0$, то есть $x>-5$, $x\ne 0$.

Пересечём все три условия. Условие $x>-4$ сильнее, чем $x>-5$, точка $0$ уже исключена первым условием:

ОДЗ: $x\in \left(-4;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;+\infty )$.

Преобразуем левую часть. Так как $\frac{1}{x}+2=\frac{2x+1}{x}$, по свойству разности логарифмов ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$ на ОДЗ

$${\log }_3\frac{2x+1}{x}-{\log }_3(x+4)={\log }_3\frac{2x+1}{x(x+4)}.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_3\frac{2x+1}{x(x+4)}⩽{\log }_3\frac{x+5}{x^2}.$$

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как $3>1$, поэтому на ОДЗ знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$$\frac{2x+1}{x(x+4)}⩽\frac{x+5}{x^2}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $x^2(x+4)$:

$$\frac{x(2x+1)-(x+4)(x+5)}{x^2(x+4)}⩽0.$$

Упростим числитель:

$$x(2x+1)-(x+4)(x+5)=2x^2+x-\left(x^2+9x+20\right)=x^2-8x-20.$$

Корни трёхчлена по теореме, обратной теореме Виета (сумма $8$, произведение $-20$), — $10$ и $-2$, поэтому $x^2-8x-20=(x+2)(x-10)$:

$$\frac{(x+2)(x-10)}{x^2(x+4)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-2$ и $10$ закрашиваем, нули знаменателя $0$ и $-4$ выкалываем. При $x>10$ дробь положительна. При переходе через $10$, $-2$ и $-4$ знак меняется, а через $0$ — нет, так как множитель $x$ входит во второй степени:

Получаем $x\in (-\infty ;-4)\cup [-2;0)\cup (0;10]$.

Пересечём с ОДЗ. Промежуток $(-\infty ;-4)$ в ОДЗ не входит. От промежутка $[-2;0)$ остаётся часть $\left[-2;-\frac{1}{2}\right)$, так как $-4<-2<-\frac{1}{2}$. Промежуток $(0;10]$ входит в ОДЗ целиком:

Ответ: $\left[-2;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;10]$.