Решите неравенство log₁₁(8x²+7)-log₁₁(x²+x+1)≥log₁₁(x/(x+5)+7) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $lo g_{11} (8 x^{2} + 7) - lo g_{11} (x^{2} + x + 1) \geq lo g_{11} (\frac{x}{x + 5} + 7)$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$⎩ ⎨ ⎧ 8 x^{2} + 7 > 0, x^{2} + x + 1 > 0, \frac{x}{x + 5} + 7 > 0.$

Первое неравенство верно при всех $x$ , так как $8 x^{2} + 7 ⩾ 7 > 0$ .

Второе тоже верно при всех $x$ : дискриминант трёхчлена $x^{2} + x + 1$ равен $D = 1 - 4 = - 3 < 0$ , а старший коэффициент $1 > 0$ , поэтому парабола целиком лежит выше оси абсцисс.

Третье неравенство приведём к общему знаменателю:

$\frac{x + 7 ( x + 5 )}{x + 5} > 0 \Leftrightarrow \frac{8 x + 35}{x + 5} > 0.$

Нуль числителя $x = - \frac{35}{8} = - 4, 375$ , нуль знаменателя $x = - 5$ , обе точки выкалываем (неравенство строгое). При больших $x$ дробь положительна:

Метод интервалов

ОДЗ: $x \in (- \infty; - 5) \cup (- \frac{35}{8}; + \infty)$ .

По свойству разности логарифмов $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$ (при $b > 0$ , $c > 0$ ) и с учётом уже преобразованного третьего аргумента неравенство запишется так:

$lo g_{11} \frac{8 x ^{2} + 7}{x ^{2} + x + 1} ⩾ lo g_{11} \frac{8 x + 35}{x + 5} .$

Функция $y = lo g_{11} t$ возрастает, так как $11 > 1$ . Поэтому на ОДЗ, где оба аргумента положительны, неравенство равносильно неравенству между аргументами с тем же знаком:

$\frac{8 x ^{2} + 7}{x ^{2} + x + 1} ⩾ \frac{8 x + 35}{x + 5} .$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$\frac{( 8 x ^{2} + 7 ) ( x + 5 ) - ( 8 x + 35 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} ⩾ 0.$

Раскроем скобки в числителе:

$(8 x^{2} + 7) (x + 5) = 8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35,$

$(8 x + 35) (x^{2} + x + 1) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 35 x^{2} + 35 x + 35 = 8 x^{3} + 43 x^{2} + 43 x + 35.$

Их разность равна $- 3 x^{2} - 36 x = - 3 x (x + 12)$ . Получаем

$\frac{- 3 x ( x + 12 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} ⩾ 0.$

Умножим обе части на отрицательное число $- \frac{x ^{2} + x + 1}{3}$ (трёхчлен положителен при всех $x$ ) и сменим знак неравенства:

$\frac{x ( x + 12 )}{x + 5} ⩽ 0.$

Решим методом интервалов. Нули числителя $- 12$ и $0$ закрашиваем, нуль знаменателя $- 5$ выкалываем. При $x > 0$ дробь положительна, при переходе через каждую точку знак меняется:

Метод интервалов

Получаем $x \in (- \infty; - 12] \cup (- 5; 0]$ .

Пересечём с ОДЗ. Промежуток $(- \infty; - 12]$ целиком лежит в $(- \infty; - 5)$ . От промежутка $(- 5; 0]$ остаётся часть правее $- \frac{35}{8}$ , так как $- 5 < - \frac{35}{8} < 0$ :

Решение на числовой прямой

Ответ на числовой прямой

Ответ: $(- \infty; - 12] \cup (- \frac{35}{8}; 0]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16