ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Выражение $3^x+21>0$ при любом $x$, а $3^x-27\ne 0$ при $x\ne 3$.

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Неравенство примет вид

$$\frac{1}{t+21}+\frac{1}{t-27}⩾0.$$

Приведём дроби к общему знаменателю $(t+21)(t-27)$:

$$\frac{(t-27)+(t+21)}{(t+21)(t-27)}⩾0\iff \frac{2t-6}{(t+21)(t-27)}⩾0\iff \frac{2(t-3)}{(t+21)(t-27)}⩾0.$$

Решим его методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=-21$ и $t=27$ выкалываем. При $t>27$ все множители положительны, дробь положительна; при переходе через каждую точку знак меняется:

Получаем $-21<t⩽3$ или $t>27$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽3,\\ t>27.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $3^x>0$ верно при всех $x$. Запишем $3=3^1$, $27=3^3$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^1,\\ 3^x>3^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ x>3.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;1]\cup (3;+\infty )$.