ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а затем пересечём множества их решений.

Первое неравенство.

$${\log }_3\left(\frac{x^2}{4}-\frac{16}{x^2}\right)⩽1.$$

Найдём ОДЗ: $x\ne 0$ и аргумент логарифма положителен. Приведём аргумент к общему знаменателю $4x^2$:

$$\frac{x^2}{4}-\frac{16}{x^2}=\frac{x^4-64}{4x^2}.$$

При $x\ne 0$ знаменатель $4x^2>0$, поэтому условие $\frac{x^4-64}{4x^2}>0$ равносильно $x^4-64>0$. По формуле разности квадратов

$$x^4-64=\left(x^2-8\right)\left(x^2+8\right),$$

а $x^2+8>0$ при любом $x$. Значит, условие сводится к $x^2>8$, то есть $\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)>0$ (при этом $x\ne 0$ выполняется автоматически):

ОДЗ первого неравенства: $x\in \left(-\infty ;-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2};+\infty \right)$.

Запишем единицу как логарифм: $1={\log }_{3}3$. Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как $3>1$, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно

$$\frac{x^2}{4}-\frac{16}{x^2}⩽3\iff \frac{x^4-64-12x^2}{4x^2}⩽0\iff \frac{x^4-12x^2-64}{4x^2}⩽0.$$

Числитель — квадратный трёхчлен относительно $y=x^2$: $y^2-12y-64$. Его корни по теореме, обратной теореме Виета (сумма $12$, произведение $-64$), — это $16$ и $-4$. Поэтому

$$x^4-12x^2-64=\left(x^2-16\right)\left(x^2+4\right)=(x-4)(x+4)\left(x^2+4\right).$$

Множитель $x^2+4>0$ при любом $x$, знаменатель $4x^2>0$ на ОДЗ. Разделим на эти положительные выражения — знак неравенства сохранится:

$$(x-4)(x+4)⩽0.$$

Получаем $-4⩽x⩽4$. Пересечём с ОДЗ. Так как $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<\sqrt{16}=4$, точки $\pm 2\sqrt{2}$ лежат внутри отрезка $[-4;4]$:

Решение первого неравенства: $x\in \left[-4;-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2};4\right]$.

Второе неравенство.

$$\frac{2x^2+x-28}{(x-6{)}^2+(x-5{)}^3-1}⩽0.$$

Разложим числитель. Дискриминант $D=1^2+4\cdot 2\cdot 28=225=15^2$, корни

$$x=\frac{-1\pm 15}{4},x_1=\frac{7}{2},x_2=-4.$$

Значит, $2x^2+x-28=2\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+4)=(2x-7)(x+4)$.

Разложим знаменатель. К выражению $(x-5{)}^3-1$ применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ при $a=x-5$, $b=1$:

$$(x-5{)}^3-1=(x-6)\left((x-5{)}^2+(x-5)+1\right)=(x-6)\left(x^2-9x+21\right).$$

Теперь в знаменателе можно вынести общий множитель $x-6$:

$$(x-6{)}^2+(x-6)\left(x^2-9x+21\right)=(x-6)\left(x-6+x^2-9x+21\right)=(x-6)\left(x^2-8x+15\right).$$

Корни трёхчлена $x^2-8x+15$ по теореме, обратной теореме Виета (сумма $8$, произведение $15$), — $3$ и $5$. Итак, знаменатель равен $(x-3)(x-5)(x-6)$, и неравенство принимает вид

$$\frac{(2x-7)(x+4)}{(x-3)(x-5)(x-6)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя $-4$ и $\frac{7}{2}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $3$, $5$, $6$ выкалываем. При $x>6$ все множители положительны, дробь положительна. Каждый множитель входит в первой степени, поэтому при переходе через каждую точку знак меняется:

Решение второго неравенства: $x\in (-\infty ;-4]\cup \left(3;\frac{7}{2}\right]\cup (5;6)$.

Пересечение. Сравним концы промежутков: $2\sqrt{2}<3$, так как $8<9$; кроме того, $\frac{7}{2}<4$ и $5>4$.

Промежуток $(-\infty ;-4]$ имеет с решением первого неравенства единственную общую точку $x=-4$: она входит в оба множества. Промежуток $\left(3;\frac{7}{2}\right]$ целиком лежит в $\left(2\sqrt{2};4\right]$. Промежуток $(5;6)$ лежит правее $4$ и в решение первого неравенства не входит.

Ответ: $\{-4\}\cup \left(3;\frac{7}{2}\right]$.