ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Основание внешнего логарифма — число $\mathrm{tg}0,9$, оно от $x$ не зависит (его исследуем ниже). Аргумент каждого логарифма должен быть положительным:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-2>0,\\ {\log }_{\frac{1}{4}}\left(x^2-2\right)>0.\end{array}$$

Во втором условии запишем ноль как логарифм: $0={\log }_{\frac{1}{4}}1$. Функция $y={\log }_{\frac{1}{4}}t$ убывает, так как $0<\frac{1}{4}<1$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x^2-2<1$. Вместе с первым условием получаем двойное неравенство

$$0<x^2-2<1\iff 2<x^2<3\iff \{\begin{array}{l}\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)>0,\\ \left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)<0.\end{array}$$

Решим первое неравенство системы методом интервалов. Оба нуля выкалываем (неравенство строгое), при $x>\sqrt{2}$ оба множителя положительны:

Решим второе неравенство так же:

Так как $\sqrt{2}<\sqrt{3}$, пересечение этих множеств состоит из двух промежутков:

ОДЗ: $x\in \left(-\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};\sqrt{3}\right)$.

Теперь исследуем основание $\mathrm{tg}0,9$. Так как $\pi <3,2$, имеем $\frac{\pi }{4}<\frac{3,2}{4}=0,8<0,9$. Так как $\pi >3$, имеем $\frac{\pi }{2}>1,5>0,9$. Значит,

$$\frac{\pi }{4}<0,9<\frac{\pi }{2},$$

то есть угол в $0,9$ радиана лежит в первой четверти правее угла $\frac{\pi }{4}$. На промежутке $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ тангенс возрастает, поэтому $\mathrm{tg}0,9>\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$.

Итак, основание $\mathrm{tg}0,9>1$: оно положительно и не равно единице, логарифм по нему определён. Запишем правую часть как логарифм по тому же основанию, $0={\log }_{\mathrm{tg}0,9}1$:

$${\log }_{\mathrm{tg}0,9}\left({\log }_{\frac{1}{4}}\left(x^2-2\right)\right)⩽{\log }_{\mathrm{tg}0,9}1.$$

Функция $y={\log }_{\mathrm{tg}0,9}t$ возрастает, так как её основание больше $1$. Поэтому на ОДЗ при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x^2-2\right)⩽1.$$

Запишем единицу как логарифм по основанию $\frac{1}{4}$: $1={\log }_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}$. Получим

$${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x^2-2\right)⩽{\log }_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}.$$

Основание $\frac{1}{4}<1$, функция $y={\log }_{\frac{1}{4}}t$ убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$x^2-2⩾\frac{1}{4}\iff x^2⩾\frac{9}{4}\iff (x-1,5)(x+1,5)⩾0.$$

Решим методом интервалов, нули $\pm 1,5$ закрашиваем (неравенство нестрогое):

Получаем $x⩽-1,5$ или $x⩾1,5$.

Пересечём это множество с ОДЗ. Для этого сравним $1,5$ с $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Все числа положительны, поэтому сравним их квадраты: $2<2,25<3$. Значит, $\sqrt{2}<1,5<\sqrt{3}$ и, симметрично, $-\sqrt{3}<-1,5<-\sqrt{2}$.

От промежутка $\left(-\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)$ остаётся часть $\left(-\sqrt{3};-1,5\right]$, от промежутка $\left(\sqrt{2};\sqrt{3}\right)$ — часть $\left[1,5;\sqrt{3}\right)$:

Ответ: $\left(-\sqrt{3};-1,5\right]\cup \left[1,5;\sqrt{3}\right)$.