ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}49x^2>0,\\ x>0,\\ {\log }_7^{2}x-4\ne 0.\end{array}$$

При $x>0$ первое условие выполнено. Третье: ${\log }_7^{2}x\ne 4$, то есть ${\log }_{7}x\ne 2$ и ${\log }_{7}x\ne -2$, откуда $x\ne 7^2=49$ и $x\ne 7^{-2}=\frac{1}{49}$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{49}$, $x\ne 49$.

Преобразуем числитель. По формуле логарифма произведения и свойству логарифма степени (при $x>0$):

$${\log }_7\left(49x^2\right)={\log }_{7}49+{\log }_7{x}^2=2+2{\log }_{7}x.$$

Тогда числитель равен $2+2{\log }_{7}x-7=2{\log }_{7}x-5$.

Сделаем замену $t={\log }_{7}x$, где $t\ne \pm 2$:

$$\frac{2t-5}{t^2-4}⩽1.$$

Умножать на знаменатель нельзя: его знак неизвестен. Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t-5-\left(t^2-4\right)}{t^2-4}⩽0\iff \frac{-t^2+2t-1}{t^2-4}⩽0.$$

Числитель равен $-\left(t^2-2t+1\right)=-(t-1{)}^2$. Умножим обе части на $-1$, сменив знак неравенства, и разложим знаменатель по формуле разности квадратов:

$$\frac{(t-1{)}^2}{(t-2)(t+2)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $1$ закрашиваем, нули знаменателя $\pm 2$ выкалываем. Множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=1$ знак не меняется:

Получаем $t<-2$, $t=1$ (в этой точке дробь равна нулю) или $t>2$.

Сделаем обратную замену. Запишем $-2={\log }_7\frac{1}{49}$, $1={\log }_{7}7$, $2={\log }_{7}49$. Функция $y={\log }_{7}x$ возрастает (основание $7>1$), поэтому с учётом $x>0$

$$[\begin{array}{l}{\log }_{7}x<-2,\\ {\log }_{7}x=1,\\ {\log }_{7}x>2\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{49},\\ x=7,\\ x>49.\end{array}$$

Все найденные значения входят в ОДЗ.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{49}\right)\cup \{7\}\cup (49;+\infty )$.