ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифмы определены при $x>0$. Знаменатели не равны нулю: ${\log }_3(9x)\ne 0$, то есть $9x\ne 1$, $x\ne \frac{1}{9}$; ${\log }_{3}x\ne 4$, то есть $x\ne 3^4=81$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{9}$, $x\ne 81$.

По формуле логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$:

$${\log }_3(3x)=1+{\log }_{3}x,{\log }_3(9x)=2+{\log }_{3}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Из ОДЗ получаем $t\ne -2$ и $t\ne 4$. Числитель первой дроби разложим по формуле разности квадратов:

$$(t+1{)}^2-1=((t+1)-1\left)\right((t+1)+1)=t(t+2).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{t(t+2)}{t+2}+\frac{1}{t-4}⩽6.$$

При $t\ne -2$ первую дробь можно сократить на $t+2$, условие $t\ne -2$ сохраним:

$$\{\begin{array}{l}t+\frac{1}{t-4}-6⩽0,\\ t\ne -2.\end{array}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю $t-4$:

$$\frac{t(t-4)+1-6(t-4)}{t-4}⩽0\iff \frac{t^2-10t+25}{t-4}⩽0.$$

По формуле квадрата разности $t^2-10t+25=(t-5{)}^2$:

$$\frac{(t-5{)}^2}{t-4}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $5$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нуль знаменателя $4$ выкалываем. Множитель $(t-5{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=5$ знак не меняется:

Получаем $t<4$ или $t=5$ (в этой точке дробь равна нулю). Учтём условие $t\ne -2$:

Сделаем обратную замену. Запишем $4={\log }_{3}81$, $5={\log }_{3}243$, $-2={\log }_3\frac{1}{9}$. Функция $y={\log }_{3}x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому неравенство между логарифмами равносильно неравенству между аргументами с учётом $x>0$:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<4,\\ {\log }_{3}x=5,\end{array}\\ {\log }_{3}x\ne -2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}0<x<81,\\ x=243,\end{array}\\ x\ne \frac{1}{9}.\end{array}$$

Все найденные значения входят в ОДЗ.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{9}\right)\cup \left(\frac{1}{9};81\right)\cup \{243\}$.