ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}6-x>0,\\ x^2-12x+36>0.\end{array}$$

Первое условие даёт $x<6$. Второе: $x^2-12x+36=(x-6{)}^2>0$ при $x\ne 6$, это уже следует из первого. ОДЗ: $x<6$.

Приведём оба логарифма к основанию $5$. Так как $625=5^4$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ получаем ${\log }_{625}(6-x)=\frac{1}{4}{\log }_5(6-x)$.

Во втором логарифме $(x-6{)}^2=(6-x{)}^2$, а на ОДЗ $6-x>0$. Поэтому по свойству логарифма степени

$${\log }_5\left(x^2-12x+36\right)={\log }_5(6-x{)}^2=2{\log }_5(6-x).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{4}{\log }_5(6-x)⩽2{\log }_5(6-x).$$

Умножим обе части на $4$ и перенесём всё в левую часть, вынеся общий множитель:

$$\left(x^2-8\right){\log }_5(6-x)⩽0.$$

Применим метод рационализации. Запишем ${\log }_5(6-x)={\log }_5(6-x)-{\log }_{5}1$. Функция $y={\log }_{5}t$ возрастает (основание $5>1$), поэтому на ОДЗ эта разность имеет тот же знак, что и $(6-x)-1=5-x$. Заменив множитель выражением того же знака, получаем

$$\left(x^2-8\right)(5-x)⩽0.$$

Умножим обе части на $-1$, сменив знак неравенства, и разложим $x^2-8$ по формуле разности квадратов ($\sqrt{8}=2\sqrt{2}$):

$$\left(x+2\sqrt{2}\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)(x-5)⩾0.$$

Так как $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<\sqrt{25}=5$, точки идут в порядке $-2\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$, $5$. Решим методом интервалов, точки закрашены:

Получаем $-2\sqrt{2}⩽x⩽2\sqrt{2}$ или $x⩾5$.

Пересечём с ОДЗ $x<6$. Отрезок $\left[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right]$ целиком лежит в ОДЗ, от луча $x⩾5$ остаётся $[5;6)$.

Ответ: $\left[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right]\cup [5;6)$.