ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$. Выражение $9^x-2\cdot 3^x$ встречается в нём дважды, поэтому сделаем замену $t=9^x-2\cdot 3^x$:

$$t^2-62t-63⩾0.$$

Корни трёхчлена $-1$ и $63$ (по теореме Виета их сумма $62$, произведение $-63$), поэтому $(t+1)(t-63)⩾0$. Решим методом интервалов, точки закрашены:

Получаем $t⩽-1$ или $t⩾63$.

Теперь сделаем замену $z=3^x$, где $z>0$. Тогда $9^x={\left(3^x\right)}^2=z^2$ и $t=z^2-2z$:

$$[\begin{array}{l}{z}^2-2z⩽-1,\\ z^2-2z⩾63\end{array}\iff [\begin{array}{l}{z}^2-2z+1⩽0,\\ z^2-2z-63⩾0\end{array}\iff [\begin{array}{l}(z-1{)}^2⩽0,\\ (z+7)(z-9)⩾0.\end{array}$$

Квадрат неотрицателен, поэтому неравенство $(z-1{)}^2⩽0$ выполняется только при $z=1$.

Во втором неравенстве корни трёхчлена $-7$ и $9$ (сумма $2$, произведение $-63$). Решим методом интервалов:

Получаем $z⩽-7$ или $z⩾9$. С учётом $z>0$ остаётся только $z⩾9$.

Сделаем обратную замену. Запишем $1=3^0$ и $9=3^2$. Функция $y=3^x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому

$$[\begin{array}{l}{3}^x=3^0,\\ 3^x⩾3^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ x⩾2.\end{array}$$

Ответ: $\{0\}\cup [2;+\infty )$.