ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, $(x+5{)}^4>0$ и $(x+5{)}^{12}>0$. Чётная степень положительна, когда основание не равно нулю, поэтому ОДЗ: $x\ne -5$.

Приведём оба логарифма к основанию $5$, используя свойство ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$.

Так как $0,2=5^{-1}$, получаем ${\log }_{0,2}(x+5{)}^4=-{\log }_5(x+5{)}^4$. При возведении в квадрат минус исчезает:

$${\log }_{0,2}^2(x+5{)}^4={\log }_5^2(x+5{)}^4.$$

Так как $25=5^2$ и $(x+5{)}^{12}={\left((x+5{)}^4\right)}^3$, причём $(x+5{)}^4>0$ на ОДЗ, по свойству логарифма степени

$${\log }_{25}(x+5{)}^{12}=\frac{1}{2}{\log }_5{\left((x+5{)}^4\right)}^3=\frac{3}{2}{\log }_5(x+5{)}^4.$$

Тогда $4{\log }_{25}(x+5{)}^{12}=6{\log }_5(x+5{)}^4$, и неравенство принимает вид

$${\log }_5^2(x+5{)}^4-6{\log }_5(x+5{)}^4⩾40.$$

Сделаем замену $t={\log }_5(x+5{)}^4$:

$$t^2-6t-40⩾0.$$

Корни трёхчлена $-4$ и $10$ (по теореме Виета их сумма $6$, произведение $-40$), поэтому $(t+4)(t-10)⩾0$. Решим методом интервалов, точки закрашены:

Получаем $t⩽-4$ или $t⩾10$.

Сделаем обратную замену. Запишем $-4={\log }_5{5}^{-4}$ и $10={\log }_5{5}^{10}$. Функция $y={\log }_{5}s$ возрастает (основание $5>1$), поэтому переходим к аргументам с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}(x+5{)}^4⩽5^{-4},\\ (x+5{)}^4⩾5^{10}.\end{array}$$

Заметим, что $(x+5{)}^4=|x+5{|}^4$, а функция $y=s^4$ возрастает при $s⩾0$. Поэтому из обеих частей можно извлечь корень четвёртой степени с сохранением знака. Так как $5^{10/4}=5^{5/2}=5^2\sqrt{5}=25\sqrt{5}$, получаем

$$[\begin{array}{l}|x+5|⩽\frac{1}{5},\\ |x+5|⩾25\sqrt{5}.\end{array}$$

Первое неравенство равносильно двойному неравенству $-\frac{1}{5}⩽x+5⩽\frac{1}{5}$, то есть $-5,2⩽x⩽-4,8$. По ОДЗ точку $x=-5$ выкалываем:

Второе неравенство равносильно совокупности $x+5⩽-25\sqrt{5}$ или $x+5⩾25\sqrt{5}$, то есть $x⩽-5-25\sqrt{5}$ или $x⩾25\sqrt{5}-5$:

Объединим решения. Так как $25\sqrt{5}>25$, точка $-5-25\sqrt{5}$ лежит левее $-5,2$, а точка $25\sqrt{5}-5$ — правее $-4,8$:

Ответ: $\left(-\infty ;-5-25\sqrt{5}\right]\cup [-5,2;-5)\cup (-5;-4,8]\cup \left[25\sqrt{5}-5;+\infty \right)$.