ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция положительна, поэтому $t>0$. По свойствам степеней $9^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$ и $2\cdot 3^{x+1}=6\cdot 3^x=6t$.

Знаменатель $t^2-5t+6$ имеет корни $2$ и $3$ (по теореме Виета их сумма $5$, произведение $6$), поэтому $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$. Ограничения: $t\ne 2$, $t\ne 3$. Неравенство принимает вид

$$t-8-\frac{6t-19}{(t-2)(t-3)}⩽\frac{1}{t-3}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-2)(t-3)$. Выражение $t-8$ домножим на $(t-2)(t-3)$, дробь $\frac{1}{t-3}$ — на $t-2$:

$$\frac{(t-8)(t-2)(t-3)-(6t-19)-(t-2)}{(t-2)(t-3)}⩽0.$$

Последние два слагаемых числителя дают $-(6t-19)-(t-2)=-7t+21=-7(t-3)$. Вынесем общий множитель $t-3$:

$$\frac{(t-3)((t-8)(t-2)-7)}{(t-2)(t-3)}⩽0.$$

Раскроем вторую скобку: $(t-8)(t-2)-7=t^2-10t+16-7=t^2-10t+9$. Её корни $1$ и $9$ (сумма $10$, произведение $9$), поэтому

$$\frac{(t-3)(t-1)(t-9)}{(t-2)(t-3)}⩽0.$$

При $t\ne 3$ сократим дробь на $t-3$, а само условие $t\ne 3$ сохраним:

$$\{\begin{array}{l}\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}⩽0,\\ t\ne 3.\end{array}$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $1$ и $9$ закрашиваем, нуль знаменателя $2$ и исключённую точку $3$ выкалываем. Множителя $t-3$ в дроби больше нет, поэтому при переходе через $t=3$ знак не меняется:

Получаем $t⩽1$, $2<t<3$ или $3<t⩽9$. С учётом $t>0$ первый луч превращается в $0<t⩽1$.

Сделаем обратную замену. Запишем $1=3^0$, $2=3^{{\log }_{3}2}$, $3=3^1$, $9=3^2$. Функция $y=3^x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому неравенства между степенями равносильны неравенствам между показателями с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^0,\\ 3^{{\log }_{3}2}<3^x<3^1,\\ 3^1<3^x⩽3^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽0,\\ {\log }_{3}2<x<1,\\ 1<x⩽2.\end{array}$$

Число ${\log }_{3}2$ лежит между $0$ и $1$, так как $1<2<3$ и логарифм по основанию $3$ возрастает.

Ответ: $(-\infty ;0]\cup \left({\log }_{3}2;1\right)\cup (1;2]$.