ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Числитель правой дроби свернём по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$25x^2-40x+16=(5x{)}^2-2\cdot 5x\cdot 4+4^2=(5x-4{)}^2.$$

Разложим знаменатель правой дроби $x^2-13x+36$. Дискриминант $D=13^2-4\cdot 36=169-144=25=5^2$, поэтому

$$x_1=\frac{13-5}{2}=4,x_2=\frac{13+5}{2}=9,$$

и $x^2-13x+36=(x-4)(x-9)$.

Ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 4$ и $x\ne 9$. Неравенство принимает вид

$$\frac{(5x-4{)}^2}{x-4}⩾\frac{(5x-4{)}^2}{(x-4)(x-9)}.$$

Делить обе части на $(5x-4{)}^2$ нельзя, так как это выражение может равняться нулю. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(x-4)(x-9)$, домножив первую дробь на $x-9$:

$$\frac{(5x-4{)}^2(x-9)-(5x-4{)}^2}{(x-4)(x-9)}⩾0.$$

Вынесем общий множитель $(5x-4{)}^2$ в числителе: $(5x-4{)}^2((x-9)-1)=(5x-4{)}^2(x-10)$. Получаем

$$\frac{(5x-4{)}^2(x-10)}{(x-4)(x-9)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $\frac{4}{5}$ и $10$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нули знаменателя $4$ и $9$ выкалываем. Множитель $(5x-4{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $x=\frac{4}{5}$ знак не меняется. При больших $x$ все множители положительны:

Получаем $x=\frac{4}{5}$ (в этой точке дробь равна нулю), $4<x<9$ или $x⩾10$.

Ответ: $\left\{\frac{4}{5}\right\}\cup (4;9)\cup [10;+\infty )$.