ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_6^{2}x>0,\\ 6x>0,\\ {\log }_6(6x)\ne 0.\end{array}$$

Квадрат положителен, когда само число не равно нулю, поэтому ${\log }_6^{2}x>0$ означает ${\log }_{6}x\ne 0$, то есть $x\ne 1$. Условие ${\log }_6(6x)\ne 0$ означает $6x\ne 1$, то есть $x\ne \frac{1}{6}$. Неравенство $6x>0$ следует из $x>0$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{6}$, $x\ne 1$.

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$) имеем $6^{{\log }_6\left({\log }_6^{2}x\right)}={\log }_6^{2}x$. По формуле логарифма произведения ${\log }_6(6x)={\log }_{6}6+{\log }_{6}x=1+{\log }_{6}x$.

Сделаем замену $t={\log }_{6}x$. Из ОДЗ получаем $t\ne 0$ и $t\ne -1$. Неравенство принимает вид

$$t^2+\frac{6}{t+1}⩽6.$$

Перенесём $6$ в левую часть и приведём к общему знаменателю $t+1$:

$$\frac{t^2(t+1)+6-6(t+1)}{t+1}⩽0\iff \frac{t^3+t^2-6t}{t+1}⩽0.$$

Вынесем $t$ за скобку: $t^3+t^2-6t=t\left(t^2+t-6\right)$. Корни трёхчлена $t^2+t-6$ равны $-3$ и $2$ (по теореме Виета их сумма $-1$, произведение $-6$), поэтому

$$\frac{t(t+3)(t-2)}{t+1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-3$, $0$, $2$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нуль знаменателя $-1$ выкалываем. При больших $t$ все множители положительны:

Получаем $-3⩽t<-1$ или $0⩽t⩽2$. Учтём ограничение $t\ne 0$ из ОДЗ — точку $0$ выкалываем:

Итак, $-3⩽t<-1$ или $0<t⩽2$.

Сделаем обратную замену. Запишем $-3={\log }_6{6}^{-3}$, $-1={\log }_6{6}^{-1}$, $0={\log }_{6}1$, $2={\log }_6{6}^2$. Функция $y={\log }_{6}x$ возрастает (основание $6>1$), поэтому неравенства между логарифмами равносильны неравенствам между аргументами с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}-3⩽{\log }_{6}x<-1,\\ 0<{\log }_{6}x⩽2\end{array}\iff [\begin{array}{l}{6}^{-3}⩽x<6^{-1},\\ 1<x⩽6^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{1}{216}⩽x<\frac{1}{6},\\ 1<x⩽36.\end{array}$$

Все найденные $x$ положительны и не равны $\frac{1}{6}$ и $1$, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: $\left[\frac{1}{216};\frac{1}{6}\right)\cup (1;36]$.