ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=3^{3-x^2}$. Показательная функция положительна, поэтому $t>0$. Ограничение: знаменатели не равны нулю, то есть $t\ne 1$.

$$\frac{52}{(t-1{)}^2}-\frac{28}{t-1}+1⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-1{)}^2$. Вторую дробь домножим на $t-1$, единицу — на $(t-1{)}^2$:

$$\frac{52-28(t-1)+(t-1{)}^2}{(t-1{)}^2}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $52-28t+28+t^2-2t+1=t^2-30t+81$. Корни этого трёхчлена $3$ и $27$ (по теореме Виета их сумма $30$, произведение $81$), поэтому

$$\frac{(t-3)(t-27)}{(t-1{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $3$ и $27$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нуль знаменателя $1$ выкалываем. Множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=1$ знак не меняется:

Получаем $t⩽3$, $t\ne 1$, или $t⩾27$.

Сделаем обратную замену. Запишем $27=3^3$, $3=3^1$, $1=3^0$. Функция $y=3^s$ возрастает (основание $3>1$), поэтому неравенства между степенями равносильны неравенствам между показателями с тем же знаком:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{3}^{3-x^2}⩾3^3,\\ 3^{3-x^2}⩽3^1,\end{array}\\ 3^{3-x^2}\ne 3^0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}3-x^2⩾3,\\ 3-x^2⩽1,\end{array}\\ 3-x^2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{x}^2⩽0,\\ x^2⩾2,\end{array}\\ x^2\ne 3.\end{array}$$

Неравенство $x^2⩽0$ выполняется только при $x=0$, потому что квадрат неотрицателен.

Неравенство $x^2⩾2$ запишем как $\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)⩾0$:

То есть $x⩽-\sqrt{2}$ или $x⩾\sqrt{2}$.

Условие $x^2\ne 3$ исключает точки $x=\pm \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3}>\sqrt{2}$, они лежат внутри найденных лучей и выкалываются из них. Точка $x=0$ этому условию удовлетворяет.

Ответ: $\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)\cup \left(-\sqrt{3};-\sqrt{2}\right]\cup \{0\}\cup \left[\sqrt{2};\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3};+\infty \right)$.