ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем аргумент логарифма. Так как $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$, по свойству $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ получаем $0,2\cdot 5^x=5^{x-1}$. Это выражение положительно при всех $x$, поэтому логарифм определён всегда.

По свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$:

$${\log }_3\left(5^{x-1}\right)=(x-1){\log }_{3}5.$$

Ограничение: знаменатель не равен нулю. Так как ${\log }_{3}5>{\log }_{3}1=0$, знаменатель обращается в ноль только при $x-1=0$. Значит, $x\ne 1$.

Разложим числитель на множители. Корни трёхчлена $x^2+4x-5$ равны $-5$ и $1$ (по теореме Виета их сумма $-4$, произведение $-5$), поэтому $x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x+5)(x-1)}{(x-1){\log }_{3}5}⩾0.$$

Умножим обе части на положительное число ${\log }_{3}5$, знак неравенства не меняется:

$$\frac{(x+5)(x-1)}{x-1}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $-5$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Точку $1$ выкалываем: это нуль знаменателя, хотя и числителя тоже. При $x\ne 1$ дробь равна $x+5$, поэтому при переходе через $x=1$ знак не меняется:

Получаем $x⩾-5$, $x\ne 1$.

Ответ: $[-5;1)\cup (1;+\infty )$.