ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: $x\ne 0$, иначе показатель $\frac{1}{x}$ не определён.

Умножим обе части на $10=2\cdot 5$. По свойству $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ получаем

$$2^{\frac{1}{x}}\cdot 2\cdot 5^x\cdot 5⩽1\iff 2^{\frac{1}{x}+1}\cdot 5^{x+1}⩽1.$$

Обе части положительны, а функция $y={\log }_{2}t$ возрастает (основание $2>1$). Поэтому прологарифмируем обе части по основанию $2$, сохранив знак неравенства. По свойствам ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$, ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ и ${\log }_{2}1=0$:

$$\left(\frac{1}{x}+1\right)+(x+1){\log }_{2}5⩽0.$$

Запишем $\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}$ и вынесем общий множитель $x+1$:

$$(x+1)\left(\frac{1}{x}+{\log }_{2}5\right)⩽0\iff \frac{(x+1)\left(1+x{\log }_{2}5\right)}{x}⩽0.$$

Преобразуем вторую скобку. Так как ${\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}2=1$, получаем

$$1+x{\log }_{2}5={\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}2+x{\log }_{2}5={\log }_{2}5\left(x+{\log }_{5}2\right).$$

Число ${\log }_{2}5$ положительно (${\log }_{2}5>{\log }_{2}1=0$), поэтому разделим на него обе части, знак не меняется:

$$\frac{(x+1)\left(x+{\log }_{5}2\right)}{x}⩽0.$$

Сравним точки $-1$ и $-{\log }_{5}2$. Так как $1<2<5$ и функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, $0={\log }_{5}1<{\log }_{5}2<{\log }_{5}5=1$. Значит, $-1<-{\log }_{5}2<0$.

Решим методом интервалов. Нули числителя $-1$ и $-{\log }_{5}2$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нуль знаменателя $0$ выкалываем. При больших $x$ все множители положительны:

Получаем $x⩽-1$ или $-{\log }_{5}2⩽x<0$. Условие $x\ne 0$ учтено.

Ответ: $(-\infty ;-1]\cup \left[-{\log }_{5}2;0\right)$.