ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Основание логарифма положительно и не равно единице, аргументы положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x+4>0,\\ x+4\ne 1,\\ x^2-2x>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_{x+4}{x}^2\ne 0.\end{array}$$

Первые два условия дают $x>-4$ и $x\ne -3$.

Третье: $x(x-2)>0$. Решим методом интервалов, точки выколоты:

То есть $x<0$ или $x>2$.

Четвёртое условие означает $x\ne 0$. Пятое: логарифм равен нулю только при аргументе, равном единице, поэтому $x^2\ne 1$, то есть $x\ne \pm 1$.

Пересечём все условия:

ОДЗ: $x\in (-4;-3)\cup (-3;-1)\cup (-1;0)\cup (2;+\infty )$.

Преобразуем левую часть. На ОДЗ $x^2-2x>0$, поэтому по свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ числитель равен ${\log }_{x+4}{\left(x^2-2x\right)}^2$. По формуле перехода к новому основанию $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}={\log }_{c}b$, которая верна при $c>0$, $c\ne 1$ (на ОДЗ $x^2>0$ и $x^2\ne 1$):

$$\frac{{\log }_{x+4}{\left(x^2-2x\right)}^2}{{\log }_{x+4}{x}^2}={\log }_{x^2}{\left(x^2-2x\right)}^2.$$

Представим единицу как ${\log }_{x^2}{x}^2$ и перенесём её в левую часть:

$${\log }_{x^2}{\left(x^2-2x\right)}^2-{\log }_{x^2}{x}^2⩾0.$$

Применим метод рационализации. При $a>0$, $a\ne 1$, $f>0$, $g>0$ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. Действительно, при $a>1$ логарифм возрастает и знак разности совпадает со знаком $f-g$, а при $0<a<1$ логарифм убывает и знак меняется на противоположный — это и учитывает множитель $a-1$. На ОДЗ неравенство равносильно

$$\left(x^2-1\right)\left({\left(x^2-2x\right)}^2-x^2\right)⩾0.$$

Разложим вторую скобку по формуле разности квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:

$${\left(x^2-2x\right)}^2-x^2=\left(x^2-2x-x\right)\left(x^2-2x+x\right)=\left(x^2-3x\right)\left(x^2-x\right)=x^2(x-3)(x-1).$$

Первую скобку разложим так же: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Получаем

$$x^2(x-1{)}^2(x+1)(x-3)⩾0.$$

На ОДЗ $x\ne 0$, поэтому $x^2>0$, и на него можно разделить, не меняя знака:

$$(x-1{)}^2(x+1)(x-3)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Все точки закрашены. Множитель $(x-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $x=1$ знак не меняется:

Получаем $x⩽-1$, $x=1$ или $x⩾3$.

Пересечём с ОДЗ. Точки $x=\pm 1$ в ОДЗ не входят. От луча $x⩽-1$ остаётся $(-4;-3)\cup (-3;-1)$, луч $[3;+\infty )$ целиком лежит в ОДЗ:

Ответ: $(-4;-3)\cup (-3;-1)\cup [3;+\infty )$.