ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}2x^2-17x+35>0,\\ x+6>0,\\ {\log }_2(x+6)\ne 0.\end{array}$$

Найдём корни трёхчлена $2x^2-17x+35$. Дискриминант $D=17^2-4\cdot 2\cdot 35=289-280=9$, поэтому

$$x_1=\frac{17-3}{4}=3,5,x_2=\frac{17+3}{4}=5,$$

и $2x^2-17x+35=(2x-7)(x-5)$. Решим первое неравенство методом интервалов, точки выколоты:

Получаем $x<3,5$ или $x>5$.

Второе условие даёт $x>-6$. Третье: логарифм равен нулю только при аргументе, равном единице, поэтому $x+6\ne 1$, то есть $x\ne -5$.

Пересечём все условия:

ОДЗ: $x\in (-6;-5)\cup (-5;3,5)\cup (5;+\infty )$.

Запишем $1={\log }_{2}2$ в числителе и $0={\log }_{2}1$ в знаменателе:

$$\frac{{\log }_2\left(2x^2-17x+35\right)-{\log }_{2}2}{{\log }_2(x+6)-{\log }_{2}1}⩽0.$$

Применим метод рационализации. При основании $a>1$ функция $y={\log }_{a}t$ возрастает, поэтому для положительных $f$ и $g$ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $f-g$. На ОДЗ заменим числитель на $\left(2x^2-17x+35\right)-2$, а знаменатель — на $(x+6)-1$. Знаки числителя и знаменателя сохраняются, значит, сохраняется и знак дроби:

$$\frac{2x^2-17x+33}{x+5}⩽0.$$

Найдём корни числителя. Дискриминант $D=289-264=25$, поэтому

$$x_1=\frac{17-5}{4}=3,x_2=\frac{17+5}{4}=5,5,$$

и $2x^2-17x+33=(x-3)(2x-11)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{(x-3)(2x-11)}{x+5}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $3$ и $5,5$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нуль знаменателя $-5$ выкалываем:

Получаем $x<-5$ или $3⩽x⩽5,5$.

Пересечём с ОДЗ. От промежутка $x<-5$ остаётся $(-6;-5)$. Из отрезка $[3;5,5]$ точки между $3,5$ и $5$ (включая концы) в ОДЗ не входят, остаются $[3;3,5)$ и $(5;5,5]$:

Ответ: $(-6;-5)\cup [3;3,5)\cup (5;5,5]$.