ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Все степени в неравенстве выражаются через $2^x$ и $3^x$. Обозначим $a=2^x$ и $b=3^x$, оба числа положительны.

По свойствам степеней $(mn{)}^x=m^x\cdot n^x$ и $m^{x+k}=m^k\cdot m^x$ получаем:

$$12^x=(4\cdot 3{)}^x={\left(2^x\right)}^2\cdot 3^x=a^{2}b,8^x={\left(2^x\right)}^3=a^3,2\cdot 6^{x+1}=12\cdot 6^x=12ab,$$

$$3\cdot 4^{x+1}=12\cdot 4^x=12a^2,32\cdot 3^x=32b,2^{x+5}=32\cdot 2^x=32a.$$

Неравенство принимает вид

$$a^{2}b-a^3-12ab+12a^2+32b-32a⩽0.$$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $b$, и слагаемые без $b$:

$$b\left(a^2-12a+32\right)-a\left(a^2-12a+32\right)⩽0.$$

Действительно, $-a\left(a^2-12a+32\right)=-a^3+12a^2-32a$. Вынесем общую скобку:

$$(b-a)\left(a^2-12a+32\right)⩽0.$$

Корни трёхчлена $a^2-12a+32$ равны $4$ и $8$ (по теореме Виета их сумма $12$, произведение $32$), поэтому

$$(b-a)(a-4)(a-8)⩽0\iff \left(3^x-2^x\right)\left(2^x-4\right)\left(2^x-8\right)⩽0.$$

Определим знак каждого множителя методом рационализации: при $c>1$ функция $y=c^x$ возрастает, поэтому знак разности $c^u-c^v$ совпадает со знаком $u-v$.

Первый множитель запишем как $3^x-2^x=2^x\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^x-{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\right)$. Множитель $2^x$ положителен, а основание $\frac{3}{2}>1$, поэтому знак $3^x-2^x$ совпадает со знаком $x-0=x$.

Второй множитель $2^x-4=2^x-2^2$ имеет тот же знак, что и $x-2$. Третий множитель $2^x-8=2^x-2^3$ имеет тот же знак, что и $x-3$.

Заменив каждый множитель выражением того же знака, получаем равносильное неравенство

$$x(x-2)(x-3)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, все точки закрашены. При больших $x$ все множители положительны:

Получаем $x⩽0$ или $2⩽x⩽3$. Все выражения в условии определены при любом $x$, поэтому других ограничений нет.

Ответ: $(-\infty ;0]\cup [2;3]$.