ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=8^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$.

Выразим через $t$ все степени. По свойствам степеней $a^{x-1}=\frac{a^x}{a}$ и ${\left(a^2\right)}^x={\left(a^x\right)}^2$:

$$2\cdot 8^{x-1}=\frac{2\cdot 8^x}{8}=\frac{t}{4},64^x={\left(8^2\right)}^x={\left(8^x\right)}^2=t^2.$$

Левая часть равна $\frac{t/4}{t/4-1}$. Умножим её числитель и знаменатель на $4$ и получим $\frac{t}{t-4}$.

Знаменатель последней дроби равен $t^2-5t+4$. По теореме Виета его корни $1$ и $4$ (сумма $5$, произведение $4$), поэтому $t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t}{t-4}⩾\frac{3}{t-1}+\frac{8}{(t-1)(t-4)}.$$

Ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть $t\ne 1$ и $t\ne 4$.

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-1)(t-4)$. Первую дробь домножим на $t-1$, вторую — на $t-4$:

$$\frac{t(t-1)-3(t-4)-8}{(t-1)(t-4)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $t^2-t-3t+12-8=t^2-4t+4$. Это полный квадрат: $t^2-4t+4=(t-2{)}^2$. Получаем

$$\frac{(t-2{)}^2}{(t-1)(t-4)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=2$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое, нули знаменателя $1$ и $4$ выкалываем. Множитель $(t-2{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=2$ знак не меняется:

Получаем $t<1$, $t=2$ (в этой точке дробь равна нулю) или $t>4$. С учётом $t>0$ первый промежуток превращается в $0<t<1$.

Сделаем обратную замену. Функция $y=8^x$ возрастает (основание $8>1$), поэтому неравенство между степенями равносильно неравенству между показателями с тем же знаком. Запишем $1=8^0$, $2=8^{\frac{1}{3}}$, $4=8^{\frac{2}{3}}$ (так как $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$, а $8^{\frac{2}{3}}=2^2=4$):

$$[\begin{array}{l}{8}^x<8^0,\\ 8^x=8^{\frac{1}{3}},\\ 8^x>8^{\frac{2}{3}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0,\\ x=\frac{1}{3},\\ x>\frac{2}{3}.\end{array}$$

Неравенство $8^x>0$ верно при всех $x$, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \left\{\frac{1}{3}\right\}\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.