ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому $9-x^2>0$, то есть $(x-3)(x+3)<0$. Решим методом интервалов. Неравенство строгое, поэтому точки выколоты:

ОДЗ: $x\in (-3;3)$.

На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$) имеем $5^{{\log }_5\left(9-x^2\right)}=9-x^2$. Неравенство принимает вид

$$9-x^2+x^4-29⩾0\iff x^4-x^2-20⩾0.$$

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t=x^2$:

$$t^2-t-20⩾0.$$

Найдём корни трёхчлена $t^2-t-20$. Дискриминант $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-20)=81=9^2$, поэтому

$$t_1=\frac{1-9}{2}=-4,t_2=\frac{1+9}{2}=5.$$

Разложим трёхчлен на множители:

$$(t+4)(t-5)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому точки закрашены:

Получаем $t⩽-4$ или $t⩾5$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{x}^2⩽-4,\\ x^2⩾5.\end{array}$$

Первое неравенство решений не имеет, так как $x^2⩾0$ при всех $x$. Второе перенесём в левую часть и разложим по формуле разности квадратов:

$$x^2-5⩾0\iff \left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)⩾0.$$

То есть $x⩽-\sqrt{5}$ или $x⩾\sqrt{5}$.

Пересечём полученное множество с ОДЗ $(-3;3)$. Так как $4<5<9$, то $2<\sqrt{5}<3$, и от каждого промежутка в ОДЗ попадает кусок: $\left(-3;-\sqrt{5}\right]$ и $\left[\sqrt{5};3\right)$.

Ответ: $\left(-3;-\sqrt{5}\right]\cup \left[\sqrt{5};3\right)$.