ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём их решения.

1) Первое неравенство. Найдём ОДЗ: основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен:

$$\{\begin{array}{l}2-x>0,\\ 2-x\ne 1,\\ \frac{-1-x}{x-2}>0.\end{array}$$

Домножим числитель и знаменатель дроби на $-1$: $\frac{-1-x}{x-2}=\frac{x+1}{2-x}$. При $2-x>0$ дробь положительна тогда и только тогда, когда $x+1>0$. Получаем $x<2$, $x\ne 1$, $x>-1$:

ОДЗ: $x\in (-1;1)\cup (1;2)$.

Запишем $-1=-{\log }_{2-x}(2-x)$ и перенесём его в левую часть:

$${\log }_{2-x}\frac{x+1}{2-x}+{\log }_{2-x}(2-x)⩽0.$$

На ОДЗ оба аргумента положительны, поэтому сумма логарифмов равна логарифму произведения:

$${\log }_{2-x}\left(\frac{x+1}{2-x}\cdot (2-x)\right)⩽0\iff {\log }_{2-x}(x+1)⩽0.$$

Применим метод рационализации: при $a>0$, $a\ne 1$, $f>0$ выражение ${\log }_{a}f={\log }_{a}f-{\log }_{a}1$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-1)$. Действительно, при $a>1$ логарифм положителен ровно при $f>1$, а при $0<a<1$ — ровно при $f<1$. На ОДЗ неравенство равносильно

$$(2-x-1)(x+1-1)⩽0\iff (1-x)x⩽0\iff x(x-1)⩾0.$$

Получаем $x⩽0$ или $x⩾1$. Пересечём с ОДЗ:

Решение первого неравенства: $x\in (-1;0]\cup (1;2)$.

2) Второе неравенство. Ограничения: $x\ne 1$, $x\ne 5$. Перенесём $x+1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю $(x-1)(x-5)$:

$$\frac{\left(x^2-8x+6\right)(x-5)+(8x-37)(x-1)-(x+1)(x-1)(x-5)}{(x-1)(x-5)}⩽0.$$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$$\left(x^2-8x+6\right)(x-5)=x^3-5x^2-8x^2+40x+6x-30=x^3-13x^2+46x-30,$$

$$(8x-37)(x-1)=8x^2-8x-37x+37=8x^2-45x+37,$$

$$(x+1)(x-1)(x-5)=\left(x^2-1\right)(x-5)=x^3-5x^2-x+5.$$

Сложим первые два и вычтем третье. Слагаемые с $x^3$ и $x^2$ сокращаются ($1-1=0$ и $-13+8+5=0$), остаётся

$$(46-45+1)x+(-30+37-5)=2x+2.$$

Получаем

$$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x-5)}⩽0.$$

Нуль числителя $-1$ закрашен, нули знаменателя $1$ и $5$ выколоты:

Решение второго неравенства: $x\in (-\infty ;-1]\cup (1;5)$.

3) Пересечение. Промежуток $(-1;0]$ из первого решения не пересекается со вторым: точка $-1$ в него не входит, а до $(1;5)$ он не доходит. Интервал $(1;2)$ целиком лежит в $(1;5)$:

Ответ: $(1;2)$.