ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{5}x>0,\\ 5x>0,\\ {\log }_5(5x)\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0,\\ x>1,\\ x\ne \frac{1}{5}.\end{array}$$

Здесь ${\log }_{5}x>0={\log }_{5}1\iff x>1$, так как логарифм по основанию $5>1$ возрастает, а ${\log }_5(5x)=0\iff 5x=1$. Условие $x>1$ влечёт остальные.

ОДЗ: $x>1$.

На ОДЗ ${\log }_{5}x>0$, поэтому по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$)

$$5^{{\log }_5\left({\log }_{5}x\right)}={\log }_{5}x.$$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: ${\log }_5(5x)={\log }_{5}5+{\log }_{5}x=1+{\log }_{5}x$. Сделаем замену $t={\log }_{5}x$; на ОДЗ $t>0$. Неравенство примет вид

$$t+\frac{5}{1+t}⩽5.$$

Перенесём $5$ влево и приведём к общему знаменателю $t+1$:

$$\frac{t(t+1)+5-5(t+1)}{t+1}⩽0\iff \frac{t^2+t+5-5t-5}{t+1}⩽0\iff \frac{t(t-4)}{t+1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $0$ и $4$ закрашены, нуль знаменателя $-1$ выколот:

Получаем $t<-1$ или $0⩽t⩽4$. Учтём условие $t>0$:

Остаётся $0<t⩽4$. Сделаем обратную замену:

$$0<{\log }_{5}x⩽4\iff {\log }_{5}1<{\log }_{5}x⩽{\log }_{5}625.$$

Функция $y={\log }_{5}x$ возрастает, так как $5>1$, поэтому знаки неравенств между аргументами сохраняются:

$$1<x⩽625.$$

Все эти значения лежат в ОДЗ.

Ответ: $(1;625]$.