ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим выражение под первым логарифмом на множители группировкой, а затем по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^3-5x^2-25x+125=x^2(x-5)-25(x-5)=(x-5)\left(x^2-25\right)=(x-5{)}^2(x+5).$$

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}(x-5{)}^2(x+5)>0,\\ (x-5{)}^4>0.\end{array}$$

Второе условие означает $x\ne 5$. При $x\ne 5$ множитель $(x-5{)}^2$ положителен, и первое условие сводится к $x+5>0$, то есть $x>-5$.

ОДЗ: $x\in (-5;5)\cup (5;+\infty )$.

Преобразуем правую часть. Так как $0,01=0,1^2$ и $(x-5{)}^4={\left((x-5{)}^2\right)}^2$, по свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и ${\log }_a{c}^2=2{\log }_{a}c$ (при $c>0$; здесь $c=(x-5{)}^2>0$ на ОДЗ)

$${\log }_{0,01}(x-5{)}^4=\frac{1}{2}{\log }_{0,1}{\left((x-5{)}^2\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot 2{\log }_{0,1}(x-5{)}^2={\log }_{0,1}(x-5{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{0,1}\left((x-5{)}^2(x+5)\right)⩽{\log }_{0,1}(x-5{)}^2.$$

Основание $0<0,1<1$, поэтому функция $y={\log }_{0,1}t$ убывает. На ОДЗ оба аргумента положительны, и неравенство равносильно неравенству аргументов с противоположным знаком:

$$(x-5{)}^2(x+5)⩾(x-5{)}^2.$$

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель $(x-5{)}^2$:

$$(x-5{)}^2(x+5-1)⩾0\iff (x-5{)}^2(x+4)⩾0.$$

Решим методом интервалов с учётом условия $x\ne 5$ (точку $5$ выкалываем). Множитель $(x-5{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через точку $5$ знак не меняется:

Получаем $x⩾-4$, $x\ne 5$. Так как $-4>-5$, все эти значения лежат в ОДЗ.

Ответ: $[-4;5)\cup (5;+\infty )$.