ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4>0,\\ \frac{x-2}{x+2}>0.\end{array}$$

Первое неравенство запишем как $(x-2)(x+2)>0$. Дробь $\frac{x-2}{x+2}$ имеет тот же знак, что и произведение $(x-2)(x+2)$, поэтому второе неравенство даёт то же множество. Решим методом интервалов:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.

Приведём логарифмы к основанию $2$ по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$$2{\log }_4\left(x^2-4\right)=2{\log }_{2^2}\left(x^2-4\right)=2\cdot \frac{1}{2}{\log }_2\left(x^2-4\right)={\log }_2\left(x^2-4\right),$$

$${\log }_{0,5}\frac{x-2}{x+2}={\log }_{2^{-1}}\frac{x-2}{x+2}=-{\log }_2\frac{x-2}{x+2}.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_2\left(x^2-4\right)+{\log }_2\frac{x-2}{x+2}⩾-3.$$

На ОДЗ оба аргумента положительны, поэтому сумму логарифмов заменим логарифмом произведения. Так как на ОДЗ $x+2\ne 0$, дробь сокращается:

$$(x-2)(x+2)\cdot \frac{x-2}{x+2}=(x-2{)}^2,{\log }_2(x-2{)}^2⩾-3.$$

Запишем $-3={\log }_2{2}^{-3}={\log }_2\frac{1}{8}$. Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, так как $2>1$, поэтому на ОДЗ (где $(x-2{)}^2>0$) неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$(x-2{)}^2⩾\frac{1}{8}.$$

Так как $\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2$, по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ получаем

$$\left(x-2-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\left(x-2+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)⩾0.$$

Получаем $x⩽2-\frac{\sqrt{2}}{4}$ или $x⩾2+\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Пересечём с ОДЗ. Так как $\sqrt{2}<4$, то $0<\frac{\sqrt{2}}{4}<1$, а значит, $-2<1<2-\frac{\sqrt{2}}{4}<2<2+\frac{\sqrt{2}}{4}$. Луч $(-\infty ;-2)$ целиком входит в решение $x⩽2-\frac{\sqrt{2}}{4}$; промежуток $\left[-2;2\right]$ в ОДЗ не входит; от решения $x⩾2+\frac{\sqrt{2}}{4}$ ничего не отбрасывается:

Ответ: $(-\infty ;-2)\cup \left[2+\frac{\sqrt{2}}{4};+\infty \right)$.