ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: $x\ne 3$, иначе знаменатель обращается в ноль.

Заметим, что $5x-15=5(x-3)$. Разобьём дробь на две:

$$\frac{8x^2+5x-15}{x-3}=\frac{8x^2}{x-3}+\frac{5(x-3)}{x-3}=\frac{8x^2}{x-3}+5(x\ne 3).$$

Неравенство принимает вид

$$x^3+6x^2+\frac{8x^2}{x-3}+5⩽5\iff x^3+6x^2+\frac{8x^2}{x-3}⩽0.$$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$$x^2\left(x+6+\frac{8}{x-3}\right)⩽0.$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю $x-3$:

$$x+6+\frac{8}{x-3}=\frac{(x+6)(x-3)+8}{x-3}=\frac{x^2+3x-18+8}{x-3}=\frac{x^2+3x-10}{x-3}.$$

Разложим трёхчлен $x^2+3x-10$ на множители. Дискриминант $D=3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=49$, корни

$$x=\frac{-3\pm 7}{2},x_1=-5,x_2=2,$$

поэтому $x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$. Получаем

$$\frac{x^2(x+5)(x-2)}{x-3}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $-5$, $0$, $2$ закрашены (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $3$ выколот. Множитель $x^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через точку $0$ знак не меняется; через остальные точки знак меняется:

Получаем $x⩽-5$, $x=0$ или $2⩽x<3$. Точка $x=0$ — отдельное решение: в ней числитель равен нулю, а по обе стороны от неё дробь положительна.

Ответ: $(-\infty ;-5]\cup \{0\}\cup [2;3)$.