ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель. Так как $x^4={\left(x^2\right)}^2$ и $x^2>0$ там, где определён логарифм, по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$)

$${\log }_3{x}^4={\log }_3{\left(x^2\right)}^2=2{\log }_3{x}^2.$$

Тогда по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

$${\log }_3^2{x}^2+{\log }_3{x}^4+1={\log }_3^2{x}^2+2{\log }_3{x}^2+1={\left({\log }_3{x}^2+1\right)}^2.$$

Найдём, когда знаменатель равен нулю:

$${\log }_3{x}^2=-1\iff x^2=3^{-1}=\frac{1}{3}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Запишем ОДЗ. Условие $x^4>0$ равносильно условию $x^2>0$, то есть $x\ne 0$:

$$\{\begin{array}{l}3-x>0,\\ x+1>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_3{x}^2+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<3,\\ x>-1,\\ x\ne 0,\\ x\ne \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\end{array}$$

Так как $\sqrt{3}>1$, то $0<\frac{1}{\sqrt{3}}<1$, и все выколотые точки лежат внутри интервала $(-1;3)$:

ОДЗ: $x\in \left(-1;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt{3}};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt{3}};3\right)$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_3(3-x)-{\log }_3(x+1)}{{\left({\log }_3{x}^2+1\right)}^2}⩾0.$$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть он положителен. Умножим на него обе части, знак сохранится. На ОДЗ неравенство равносильно

$${\log }_3(3-x)⩾{\log }_3(x+1).$$

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как $3>1$, а оба аргумента на ОДЗ положительны. Поэтому неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$3-x⩾x+1\iff 2x⩽2\iff x⩽1.$$

Пересечём с ОДЗ: от интервала $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};3\right)$ остаётся $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]$, остальные промежутки ОДЗ лежат левее $1$ и сохраняются целиком.

Ответ: $\left(-1;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt{3}};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]$.